２つの位相多様体の直積空間は位相多様体になる。

Mをm次元位相多様体とする。Nをn次元位相多様体とする。このとき、直積空間M×Nは(m+n)次元位相多様体であることを示せ。

ハウスドルフ空間の直積空間もまたハウスドルフ空間であるという事実は、既知として利用して下さって差し支えありません。ご助力お願いいたします。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/16 14:18

単純に…

M の地図帳が a 枚の地図、N の地図帳が b 枚の地図からなるとして、
それぞれ一枚づつ取って組み合わせると、地図の直積が ab 枚できる。
この ab 枚を集めれば M×N の地図帳になるんじゃない？ というのが、
前に書いた「被覆の直積」という話だけど。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

多様体Mを被覆する座標近傍系を {(U_a,φ_a)}a∈A として
多様体Nを被覆する座標近傍系を {(U_b,φ_b)}b∈B とおいて、
あとは、
{(U_a×U_b,φ_a×φ_b)} (a,b)∈A×B が位相空間M×Nの座標近傍系であることを示すことになるわけですか。

つまりは、
直積写像φ_a×φ_b が U_a×U_b を R＾m+n へと移す同相写像であることを証明する作業に帰着される感じですか。

お礼日時：2013/04/20 23:10

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/14 17:43

ハウスドルフの直積がハウスドルフになることを

既知としてよいなら、各地図の直積がm+n次元の
地図になることは、与えられていることになる。
後は、被覆の直積が被覆になることを示して、
その地図が地図帳をなすことを確認するだけ。

この回答へのお礼

度々ありがとうございます。

そうですよね。。。
M次元多様体はハウスドルフ空間であり、
N次元多様体もまたハウスドルフ空間なので、
ハウスドルフ空間同士の直積の結果である直積M×Nはハウスドルフ空間ですよね。

あとは、直積M×Nを被覆するような開集合Uを（少なくとも１つ以上）設定して、その設定した開集合を（m+n）次元数空間R^(m+n)へとマッピングするような同相写像φを（Uと同じ数だけ）構成しないといけませんよね。

もう、Uとφをつくるのが困難です。ええと、φが同相写像である必要があるので、φでマッピングされた結果もまた開集合であることが必要で。。。う～ん。

お礼日時：2013/04/15 23:41

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2013/04/14 14:00

何がわからないのかわからない．

すなおに多様体の定義に当てはめてみた？

たぶん，前にも紹介した松本先生の本あたりを
きちんとよめばわかると思う
ほかの有名な本，松島先生の本とかはまだ読めないと思う．

この回答へのお礼

度々ありがとうございます。
多様体の定義に当てはめてみたのですけど、そこで思考が停止してしまいます。。。

ところで、よい教科書をお教えいただきありがとうございます。東京の大きな本屋さんで見つけて、少し読んでみると、ハードカバーと堅苦しい印字とは裏腹に懇切丁寧な印象を受け、さっそく購入してみました。今学期受ける多様体の講義のお供にしたいと思います。（ただ、積多様体の箇所を読んでも、m+n次元であることは自明であるという感覚にはなかなか。。。）

お礼日時：2013/04/15 23:32