集合の対等や濃度の問題が分かりません。

二問あります。

１．
任意の集合A、Bに対し、|A-B|=|B-A|ならば、|A|=|B|であることを示せ。

２．
有限集合A、Bに対して、|A|=m |B|=n のとき、AからBへの写像全体の集合の濃度を求めよ。


この二問です。

問１に関しては直感的なイメージも出来、ベン図からも成立しそうなのですが、証明の書き方がわかりません。

問２に関しては問題文が先ず理解できないです。「写像全体の集合の濃度」の意味が良く分かりません。自分でなんとなくのイメージで出した答えは　m+n-mn　ですが、合っている気がしません。


解説お願いいたします。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/08 14:43

1.

|A-B|=|B-A| とは、A-B から B-A への全単射が存在する
という意味(定義)ですが、その写像を f として、
x∈A-B のとき g(x) = f(x)
x∈A∩B のとき g(x) = x　　　という写像 g を定義すると、
g は A から B への全単射とります。

2.
濃度と言っても、有限集合の話ですから、
A から B への写像全体の個数を数えればいいです。

No.2 回答者： funoe 回答日時： 2013/07/08 09:19

ヒマだから超サービス。

１）
Ａ－Ｂって、｛ｘ；ｘ∈Ａ　&　￢(ｘ∈Ｂ)｝　Ａの元のうちＢの元でないもの　のことですよね。

なら、

（Ａ－Ｂ）∩（Ａ∩Ｂ）＝φ　で
（Ａ－Ｂ）∪（Ａ∩Ｂ）＝Ａ　なので、
　|Ａ－Ｂ|＋|Ａ∩Ｂ|＝|Ａ|

同様に
（Ｂ－Ａ）∩（Ａ∩Ｂ）＝φ　で
（Ｂ－Ａ）∪（Ａ∩Ｂ）＝Ｂ　なので、
　|Ｂ－Ａ|＋|Ａ∩Ｂ|＝|Ｂ|

したがって、　|Ａ－Ｂ|＝|Ｂ－Ａ|ならば、　|Ａ|＝|Ｂ|

　
　

２）
ＡからＢへの写像って、Ａの元それぞれに対するＢの元が定まる関係だから
ｍ個あるＡの元Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４，・・・・，Ａｍのそれぞれについて、
Ａ１に対応するＢの元はｂ１，ｂ２，ｂ３，・・・，Ｂｎのどれか。
Ａ２に対応するＢの元はｂ１，ｂ２，ｂ３，・・・，Ｂｎのどれか。
Ａ３に対応するＢの元はｂ１，ｂ２，ｂ３，・・・，Ｂｎのどれか。
・・・
Ａｍに対応するＢの元はｂ１，ｂ２，ｂ３，・・・，Ｂｎのどれか。
が１個ずつ決まればそれが「ひとつ写像が定まった」ということ。
たとえば、
Ａ１→Ｂ３、Ａ２→Ｂ１、Ａ３→Ｂ３、Ａ４→Ｂ７、・・・・Ａｍ→Ｂ１２　ってのもひとつの写像だし、
Ａ１→Ｂ８、Ａ２→Ｂ２、Ａ３→Ｂ４、Ａ４→Ｂ２、・・・・Ａｍ→Ｂ５　ってのもひとつの写像。
こんな写像が全部でいくつあるかって聞かれているので、
組み合わせで考えて、Ａ１に対応するのが全部でｎ通り、Ａ２に対応するのが全部でｎ通り・・・、Ａｍに対応するのも全部でｎ通り。
全ての組み合わせは、
ｎ*ｎ*ｎ*ｎ*・・・・*ｎ＝ｎ＾ｍ
AからBへの写像全体の集合の濃度はｎ＾ｍ

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/07/08 00:02

1: ベン図から, どうして「成立しそう」と思ったのですか? あと, A∩B = φ のとき |A∪B| はどう書けますか?

2: 「写像」ってどういうものか, わかりますか?