中学数学-文章問題

次の問題にある子供の年齢が4通りしかない理由がよくわかりません。
樹形図を使うとわかるのでしょうか？お力添えお願いいたします。
【問題】
全員 15 歳未満の子供が 3 人いる。彼らの年齢の積が 90 であるというだけでは、彼らの年齢を決定する には情報が足りない。また彼らの年齢の和が与えられたとしても、彼らの年齢を決定するには情報がま だ足りない。(このとき、3 名の)子供のうちの 1 人の年齢として、あり得ないのは次のうちどれか。
a.2 b.3 c.5 d.6 e.9
<解法の流れを確認>
問題文の2文目までで分かる情報は、「正の整数a, b, cがabc = 90且つa ≤ b ≤ c < 15を満たす」ということだから、全て挙げてみればよい。(ちなみに積が 90 なので a は 0 にはなり得ない。つまり、0 < a ≤ b ≤ c < 15 である。)90 = 1 × 2 × 3 × 3 × 5 であるから a ≤ b ≤ c < 15 も考慮すれば以下の4通りしかないはずで ある。
a b c 合計
1 9 10 20
2 5 9 16
3 3 10 16
3 5 6 14
a+b+c の値だけでは a, b, c それぞれが確定できないというのだから、合計は 16 のはず。a + b + c = 16 のとき a, b, c がなり得ない値は、(d) 6。

No.5 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/06/05 19:36

> 樹形図を使うとわかるのでしょうか？

と思うのだったら、「ダメ元で」「試行錯誤」しなきゃダメ。
やってみてもダメかもしれない。でもやってみなくては。それが数学。
やってみたけれど、これで正しいですか？どこが間違ってますか？という質問ならアリだけれど。

で、三人の年齢の積が90ですよね。
また、0歳ということはあり得ないから、
一人が1歳の場合(という説明が、その解説には欠落している)
　1×90
となり、残り二人の年齢の積90となります。
ここから色々考え方はあるんで、色々考えた方が良いと思いますが、
まず、90の素因数はどうなっているか。
90＝2×3×3×5(×1)
ですよね。
だから、この四つの素因数のを組み合わせて、ｘ×ｙ＝90となるような物を作れば良い。
ところが、全員が15再未満ですから、1×90のような組み合わせは無理。
つまり、もう一人も1歳だった場合、1×90で(90＝2×3×3×5)、3人目が15再未満では無くなるので、不可。
では、もう一人が2歳だった場合は、2×45で(45＝3×3×5)、3人目が15再未満では無くなるので、不可。
もう一人が3歳だった場合は、3×30で(30＝2×3×5)、3人目が15再未満では無くなるので、不可。
もう一人が5歳だった場合は、5×18で(18＝2×3×3)、3人目が15再未満では無くなるので、不可。
もう一人が6歳(2×3)だった場合は、6×15で、3人目が15再未満では無くなるので、不可。
もう一人が10歳(2×5)だった場合は、10×9で、3人目が15再未満となり、可。
もう一人が9歳(3×3)だった場合は、9×10で、3人目が15再未満となるが、既に上記で出ている。
それ以上、3×5、2×3×3、2×3×5、3×3×5、2×3×3×5の場合は、既に上記で検討済み、
従って、一人が1歳の場合は、もう二人は9歳と10歳という組み合わせ以外に無い。
もうちょっと直感的に解くと、
二つの数を掛けて90になる、両数とも15未満、という場合、1×90のように、一つの数が極端に小さくなれば、もう一つの数が大きくなり、15未満という条件を満たさなくなる可能性が高いですし、現にこの場合、満たしていません。
すると、それを逆から考えれば、二つの数が近ければ、15未満、という条件を満たしやすくなる、ということです。
丁度、9×10(3×3 × 2×5)という組み合わせができるので、これを検討すると、両方とも15未満であると。
ところが、90の因数で、10の次に大きい物は、15です。(解らなければ、1,2,3,3,5を掛け合わせて作ることができる数を全部書き出してみること。それこそ樹形図書いて。)
15は15未満という条件を満たしませんから、10より大きい因数で15未満を満たす物は無いから、9,10の場合のみ。

同様に、最初の一人が2歳の場合、3歳の場合、5歳の場合を検討することになります。
上記の9×10の様な組み合わせを見つけるには、90はその因数のうち、10×10＝100より小さく、9×9＝81より大きいからその辺り、45はその因数のうち、9×9＝81より小さく5×5＝25より大きい、なんて考えると見つけ易くなるでしょう。
そうして探していけば、4つしか無いんでしょう。
なお、賢い解き方は、まず地道にやってみないと、何のことやら判りません。

No.4 回答者： elunaruna 回答日時： 2015/06/05 13:42

たとえばですね

長男：興毅
次男：大毅
三男：和毅
亀田さん家の3兄弟の年齢が分からないとして、問題の答えの1つである「2歳、5歳、9歳」の場合は当然
興毅が9歳、大毅が5歳、和毅が2歳になるわけです。
決して興毅が5歳や2歳にはなりません。
「3歳、3歳、10歳」の場合は
興毅が10歳、大毅が3歳、和毅が3歳となり大毅と和毅は年子または双子ということになります。
この問題は「組み合わせ」の問題であり「順列」ではないですよ。

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2015/06/05 10:30

1,2,3,3,5を全部使いそれぞれを掛け合わせて１５未満の数字を３つ作れという問題ですね。

5をどうつかうかですね。
単独で使った場合
5,9,2
5,6,3
2と掛け合わせた場合
10,9,1
10,3,3
３以上とは組み合わせられませんので、４通りです。

No.2 回答者： fine_day 回答日時： 2015/06/05 10:23

全員15歳未満という条件ですので、因数を振り分けるときに

3×5＝15歳や2×3×3＝18歳となるような組み合わせにはできません。
5は必ず5歳か2×5＝10歳の子に振り分けることになります。

ひとりが5歳のとき、残りの因数は1、2、3、3。
2×3×3にはできないので、(2)(3×3)か(2×3)(3)と振り分けます。
（1はどれに掛けても結果が変わらないのではぶいています）
ひとりが10歳のときも同様に考えれば(1)(3×3)か(1×3)(3)となります。

これらを整理すると、考えられる年齢の組み合わせは４通りだけになります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/06/05 10:17

＞次の問題にある子供の年齢が4通りしかない理由がよくわかりません。

　理由などありません。強いて言えば、現実にそれ以外ないから、ということです。
　自分で書き出してみれば納得できます。

　数学は、何でも「法則」や「公式」で導き出せるものではありません。頭だけではなく、手を動かさなければいけないこともたくさんあります。