ユークリッド空間におけるコンパクト集合は有界？

■背景

P；位相空間のコンパクト集合は距離空間において有界な閉集合である
Def; コンパクト集合とは有限個の開集合Siで　A ⊂ S1∪S2∪…∪Sn　となるAのことである

現密度をだいぶ落としましたが、、、上のように教科書には書かれていました。

--------------------私の考察---------------------
ユークリッド平面R^2={(x,y)|x,y∈R}を考える。
このとき、
　S1＝｛(x,y)|x<1｝
　S2＝｛(x,y)|x>-1｝
であるならば、
R^2⊂S1∪S2
となるのでR^2はコンパクトである。
しかし、R^2は有界ではない。
命題Pは矛盾している？？？
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■質問
教科書ではなく、私が何か勘違いしていると思われます。
私は何をわかっていないのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  もう一度、詳しく見てみました。
  結論から言うとSiは開円盤に限らないようです。
  そういう想定（位相）でのコンパクト性について書かれています。
  
  『位相空間のコンパクト集合は距離空間において有界な閉集合である』
  の『位相空間』は距離位相と書かれています。
  
  距離位相とは、私の教科書によると、
  ①N(a;ε)={x|d(a,x)<ε}
  ②A^i={x|N(x;ε)⊂A,ε＞0}
  ③距離空間の開集合とはA=A^iとなるような集合Aのこと。
  　距離空間の開集合全体を開集合系という。
  ④距離空間の開集合系は位相の公理を満足するので距離位相と呼ぶ。
  
  よって、
  結論１；②のA^iが位相の元で、有限部分被覆のそれぞれ（Si）は形状が円形でなくてよい。
  結論２；質問時のS1とS2は距離位相の開集合である。
  
  因みに、、教科書というのは
  「数学シリーズ　集合と位相」著者：内田伏一さん
  です。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/05 20:14

No.2 ベストアンサー 回答者： jmh 回答日時： 2015/08/05 21:09

定義は「任意の開被覆が有限部分開被覆を持つこと」です。

> 開円盤の半径は有限長に限りますか？
限ります。

この回答へのお礼

あ〜〜〜〜！！
わかりました！！
定義を勘違いしているとは、、、。
読み返してみると教科書にもそのとおり書いてました。
おっしゃる通りでした。
なぜ勘違いしたのか不思議なぐらいハッキリ書いていました。


＞＞＞例えば開円板全体は平面を覆いますが、そのうちの有限個では無理だと思います。
＞＞開円盤の半径は有限長に限りますか？
＞限ります。

ありがとうございました。
ユークリッド平面のコンパクト集合は有界です。
スッキリ。笑

お礼日時：2015/08/05 21:59

No.1 回答者： jmh 回答日時： 2015/08/05 19:07

例えば開円板全体は平面を覆いますが、そのうちの有限個では無理だと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
大変図々しいですが、、、。

残念ながら、開被覆に用いる部分集合が、開円盤に限るとは書かれていないです。
よって、開円盤を想定して被覆できないは回答になり得ないです。
あと、もしよければ補足もみてもらえると嬉しいです。

＞例えば開円板全体は平面を覆いますが、そのうちの有限個では無理だと思います。
そうでしょうか？
R^2を一つの半径∞の開円盤とみなして
R＾2⊂R^2
一つで被覆できていて、コンパクトという事になってしまいます。

開円盤の半径は有限長に限りますか？
そのような注意書きはみたことないですが、、。
位相の公理にも全体集合を含むと書かれていますし、、。

お礼日時：2015/08/05 20:31