n個の正の実数a1<a2<…<anとm個の正の実数b1<b2<…<bmが与えられている。

n個の正の実数a1<a2<…<anとm個の正の実数b1<b2<…<bmが与えられている。
このときどのような整数kに対しても
a1^k+a2^k+…+an^k=b1^k+b2^k+…+bm^k
が成り立つならば(1)n=mで(2)a1=b1, a2=b2, …, ak=bkであることを示せ。

これを数学的帰納法を使って
kは自然数ではなく整数なのでk=0,k=λ+1,k=λ-1のときを考えて
(i)k=0のとき1+1+…+1(1がn個)=1+1+…+1(1がm個)
よってn=m
k=λのとき成り立つと仮定して
(ii)k=λ+1
(iii)k=λ-1を示す。
とやろうとしていますが解けません。どうやったらいいですか。


出典.東京女子医科大学2005-4教学社339p9

質問者からの補足コメント

• 皆様のご指摘ならびにNo3のお礼に書きました通り、問題文に一部誤りがありました。
  申し訳ありません。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/30 01:26

• a1^k+a2^k+…+an^k=b1^k+b2^k+…+bm^k
  (a1^k-b1^k)+(a2^k-b2^k)+…+(an^k-bn^k)=0
  
  kが正の整数のとき
  k=0のとき
  (1-1)+(1-1)+…+(1-1)=0
  k=1のとき
  (a1-b1)+(a2-b2)+…+(an-bn)=0
  ak,bkは正の実数
  ak=bk？ここ変です。
  
  k=2のとき
  (a1^2-b1^2)+(a2^2-b2^2)+…+(an^2-bn^2)=0
  因数分解して
  (a1-b1)(a1+b1)+(a2-b2)(a2+b2)+…+(an-bn)(an+bn)=0
  ak,bkは正の実数だからak+bkは正の実数で0にならない。
  よってak-bk=0
  ak=bk

    補足日時：2015/12/30 02:09

• k=3のとき
  (a1^3-b1^3)+(a2^3-b2^3)+…+(an^3-bn^3)=0
  (a1-b1)(a1^2+a1b1+b1^2)+(a2-b2)(a2^2+a2b2+b2^2)+…+(an-bn)(an^2+anbn+bn^2)=0
  ak,bkは正の実数だからan^2+anbn+bn^2は正の実数で0にならない。
  よってak-bk=0
  ak=bk
  
  このようにa^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b^1+…+b^(n-1))の公式を用いて証明することできますか。問題の出典大学はよくこの因数分解を使う問が出題されます。
  さらにkが負の整数のときはどうしたらいいのか。
  分数の因数分解でしょうか。

    補足日時：2015/12/30 02:11

• n個、m個とあるのでn、mは自然数。
  さらに(1)よりn=mと証明できたため
  mをnにまとめる。
  これを数学的帰納法を使って
  (i)n=1のときa1^k=b1^k
  kはどのような整数でもいいからk=1のときも成り立つ。
  a1=b1
  
  (ii)n=λのときa1^k+a2^k+…+aλ^k=b1^k+b2^k+…+bλ^k
  ならばa1=b1, a2=b2, …, aλ=bλと仮定する。
  k=λ+1のとき
  a1^k+a2^k+…+an^k+aλ+1^k+1=b1^k+b2^k+…+bλ^k+bλ+1^λ+1ならばa1=b1, a2=b2, …, aλ=bλ,aλ+1=bλ+1が成り立つか考える。
  a1=b1, a2=b2, …, aλ=bλと仮定したから共通部分を引いて
  aλ+1^λ+1=bλ+1^λ+1
  おかしいのはわかるのですが何をどうしたら正しくなりますか。

    補足日時：2015/12/30 23:53

• >a_i ≠ b_i となる i (1 ≦ i ≦ n) が 1 つでも存在すれば、
  ここは1つだけと仮定して解いているのですか。
  2つ以上存在してもいいのですか。
  
  >f(k) = (a_1)^k + ... + (a_n)^k - ((b_1)^k + ... + (b_n)^k) ≠ 0 となるような正整数 k が存在してしま>うことをいえばいい。
  >a_i ≠ b_i となる i のうち最大のものを t とする。
  2つ以上存在するならなぜ最大のものだけ確認しているのでしょうか。
  
  >このとき t ≧ 2 である（なぜか？）
  ここも分からないです。

    補足日時：2015/12/31 08:52

• >s = t - 1, a_t - b_t = ε > 0 とおく。
  t-1とおいているのはt ≧ 2だからtが1のときも含むからですか。
  >f(k) > s(a_1)^k - s(b_s)^k + (a_t)^k - (b_t)^k
  ここと
  >f(k) > -s(b_s)^k + (b_t + ε)^k - (b_t)^k
  ここの
  間の変形の仕方も分からないです。
  ほぼお手上げです。ごめんなさい。是非教えて下さい。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/31 08:54

• あともう一つあって
  (ii)n=λのときa1^k+a2^k+…+aλ^k=b1^k+b2^k+…+bλ^k
  ならばa1=b1, a2=b2, …, aλ=bλと仮定する。
  n=λ+1のとき
  a1^k+a2^k+…+an^k+aλ+1^k+1=b1^k+b2^k+…+bλ^k+bλ+1^λ+1ならばa1=b1, a2=b2, …, aλ=bλ,aλ+1=bλ+1が成り立つか考える。
  a1=b1, a2=b2, …, aλ=bλと仮定したから共通部分を引いて
  an+1^k+1=bn+1^n+1
  
  これが成り立たない理由ですが
  a1^k+a2^k+…+aλ^k=b1^k+b2^k+…+bλ^kが成り立つのはn=λの条件がついているとき。
  よってn=λ+1のときは成り立つといえない。よって共通部分を引いてのところがおかしい。
  これでいいでしょうか。

    補足日時：2015/12/31 09:15

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/31 16:11

>∑[i=1～n-1]a[i]^k < (n-1)a[n-1]^k だから

>のところから分からないのです。

kが正数とすると例えば a^k + b^k + c^k (a<b<c) は、a^k < b^k < c^k だから

a^k + b^k + c^k < b^k + b^k + c^k < 2・b^k + c^k ＜ 2・c^k + c^k =3・c^k

同様にして

∑[i=1～n-1]a[i]^k < ∑[i=1～n-1]a[n-1]^k = (n-1)a[n-1]^k

No.8 回答者： deeton 回答日時： 2015/12/31 15:29

>>a_i ≠ b_i となる i (1 ≦ i ≦ n) が 1 つでも存在すれば、

>ここは1つだけと仮定して解いているのですか。
>2つ以上存在してもいいのですか。
2つ以上存在しても構いません（つまり、2つ以上存在しても不合理が生じます）。

>2つ以上存在するならなぜ最大のものだけ確認しているのでしょうか。
a_t ≠ b_t であれば、それだけで不合理が生じるからです。

>>このとき t ≧ 2 である（なぜか？）
>ここも分からないです。
ここは「このとき t ≧ 2 としてよい」という表現のほうが良かったかもしれません。
a_1 ≠ b_1 かつ a_i = b_i (i = 2, 3, ..., n) であれば、不合理が生じることは即座に判明するからです。
k = 1 と取れば、いちばん分かりやすいでしょう。

s = t - 1 とおいたのは、使う括弧の数を少しでも減らすためです。
括弧が多いと、見づらくなりますから。
t ≧ 2 としたので s ≧ 1 です。

k としては、正整数のみを考えています。
>f(k) > s(a_1)^k - s(b_s)^k + (a_t)^k - (b_t)^k
上の一行は、実は省略も可能でした。
s(a_1)^k > 0 ですから
f(k) > s(a_1)^k - s(b_s)^k + (a_t)^k - (b_t)^k > -s(b_s)^k + (a_t)^k - (b_t)^k
が成り立ちます。
さらに a_t - b_t = ε とおいたのですから、
f(k) > -s(b_s)^k + (b_t + ε)^k - (b_t)^k
となります。

>これが成り立たない理由ですが
>a1^k+a2^k+…+aλ^k=b1^k+b2^k+…+bλ^kが成り立つのはn=λの条件がついているとき。
>よってn=λ+1のときは成り立つといえない。よって共通部分を引いてのところがおかしい。
>これでいいでしょうか。
はい、そのとおりです。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/31 09:34

戦略が間違っていると思いますよ

a[n]=b[n] を示せば、問題から a[n], b[n] を取り除ける。
そうすると、n が1だけ減った同じ問題になるから、自動的に
a[n-1]= b[n-1] が出てくる。

つまりa[n]=b[n] だけを示せば後は芋づる式に全部証明されてしまう。

なので、a[n]=b[n]　の証明に専念すれば終わり。

で、ANO2 の

>正数n、正の実数 aくb、c<d、b≠d、がある時、適当な整数k
>をえらベば
>n|a^k-c^k| < |b^k-d^k|

b < d とすると a<d, b<d, c < d だから、 k > ０　とすると
#kの存在を示せればよいので、kにどんな条件を付けてもOK

n|a^k-c^k| < |b^k-d^k| → n|a^k-c^k| < d^k - b^k

両辺を d^k で割ると

n|(a/d)^k-(c/d)^k| < 1 - (b/d)^k

となる k が存在することを示せばよい。

a/d < 1, c/d < 1, b/d < 1 だから
例えば、(a/d)^k < 0.5/n, (c/d)^k < 0.5/n, (b/d)^k < 0.5
となるような k は必ず存在するので証明終わり。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
実はNo2の解答をいただいてから考えているのですが冒頭の

∑[i=1～n-1]a[i]^k < (n-1)a[n-1]^k だから

のところから分からないのです。
どう考えたらいいのですか。

お礼日時：2015/12/31 10:27

No.6 回答者： deeton 回答日時： 2015/12/31 04:54

(2) n がどんな正整数でも a_1 = b_1, ..., a_n = b_n を示せばよいのですが、いったん与えられた n は固定された値で、その値は動きません。

n = 1 の場合は a_1 = b_1 だけを示せばいい。
で、ここが重要なのですが、
n = 2 の場合は a_1 = b_1 と a_2 = b_2 を示す必要がありますが、その際に a_1 = b_1 であることは改めて証明する必要があります。
n = 1 のときに a_1 = b_1 となることが証明済みだからといって、n = 2 の場合に a_1 = b_1 となることを証明せずに認めることはできないのです。
同様に n = 2 の場合に a_1 = b_1 と a_2 = b_2 が成り立つことが証明済みだとしても、
n = 3 の場合は a_1 = b_1, a_2 = b_2, a_3 = b_3 の 3 つすべてを、最初から証明する必要があります。
a_1 = b_1 と a_2 = b_2 が成り立つことは、既知ではありません。
そういう理由で、この (2) は数学的帰納法を使うのに適さない証明問題といえます。

この回答へのお礼

素晴らしい知識量です。凄すぎます。本当にありがとうございました。
帰納法では駄目なのがわかったので今から背理法を理解できるように考えて補足します。

お礼日時：2015/12/31 07:07

No.5 回答者： deeton 回答日時： 2015/12/31 03:18

えっと、今は何をしようとしているのでしょうか。

数学的帰納法を使って証明するのは、たぶんうまくいかないと申し上げたのですけれど。
私が書いた背理法を用いた証明は、理解してもらえましたか。
まだ疑問点が残っているのなら、その内容を明確にして質問してください。

この回答へのお礼

背理法がまだ理解できません。
今一番疑問なのは一番下の補足の帰納法が何故ダメなのかです。

お礼日時：2015/12/31 03:28

No.4 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2015/12/29 23:33

質問文の問題文は、オリジナルのものそのままなんでしょうか？

正直、問題文が曖昧で、「どのような整数kに対しても」が、どこにかかっていると考えるかで、

・どのような整数kについても、「…が成り立つならば、(1)(2)である」
・「どのような整数kについても、…が成り立つならば」、(1)(2)である

の2通りの意味に取れてしまいますね。
質問者は、kについての帰納法をしているところをみると、前者の意味だと解釈したんでしょうかね。。

ただ、こちらの意味だと、こんなことは成り立たないわけで（簡単に反例が見つかる）、後者の意味で解釈するべきなんでしょう。

この回答へのお礼

問題文は全くそのまま引用していますが私が問題文を読み間違えたのですね。ありがとうございました。
私はrabit_catさまのご指摘の通り前者の意味でとってしまいました。

お礼日時：2015/12/30 01:17

No.3 回答者： deeton 回答日時： 2015/12/29 20:45

(1)n = m であることの証明は、あなたの書いた内容で正しい。

しかし (2) は、まず、問題を正しく書いていませんね。
a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_k = b_k であることを示せではなく、
a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_n = b_n(= b_m) であることを示せ、のはず。
そして、これを数学的帰納法で証明するという発想は、どうなのでしょうか。
「どのような k に対しても～が成り立つことを示せ」という問題ではなく、
「どのような k に対しても～が成り立つならば、～であることを示せ」という問題ですからね。

背理法で証明しましょう。
a_i ≠ b_i となる i (1 ≦ i ≦ n) が 1 つでも存在すれば、
f(k) = (a_1)^k + ... + (a_n)^k - ((b_1)^k + ... + (b_n)^k) ≠ 0 となるような正整数 k が存在してしまうことをいえばいい。
a_i ≠ b_i となる i のうち最大のものを t とする。
このとき t ≧ 2 である（なぜか？）。
a_t > b_t なら f(k) > 0 となる正整数 k が存在し、
a_t < b_t なら f(k) < 0 となる正整数 k が存在することを示すことにより、証明終了。
前者のみ証明する（後者の証明もまったく同様にできる）。

s = t - 1, a_t - b_t = ε > 0 とおく。
f(k) > s(a_1)^k - s(b_s)^k + (a_t)^k - (b_t)^k
f(k) > -s(b_s)^k + (b_t + ε)^k - (b_t)^k
f(k) > -s(b_s)^k + kε(b_t)^(k-1)
f(k) > -s(b_s)^k + kε(b_s)^(k-1)
f(k) > (kε - s(b_s))(b_s)^(k-1)
よって k > s(b_s)/ε を満たす正整数 k に対しては f(k) > 0 となってしまう。

この回答へのお礼

>(1)n = m であることの証明は、あなたの書いた内容で正しい。
>しかし (2) は、まず、問題を正しく書いていませんね。
>a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_k = b_k であることを示せではなく、
>a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_n = b_n(= b_m) であることを示せ、のはず。
>そして、これを数学的帰納法で証明するという発想は、どうなのでしょうか。
>「どのような k に対しても～が成り立つことを示せ」という問題ではなく、
>「どのような k に対しても～が成り立つならば、～であることを示せ」>>という問題ですからね。

これその通りです。問題文を読み違えています。ですからなんで分からないのかが分からない状態でした。すごいです。ありがとうございました。

お礼日時：2015/12/30 01:23

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/29 10:45

紛らわしいので akは a[k] と書くことにします。

a[n]^kとb[n]^kの差が、kが充分大きければ他の項でまかないきれなく
なることを証明すればよいはず。

∑[i=1～n-1]a[i]^k < (n-1)a[n-1]^k だから

(n-1)|a[n-1]^k-b[n-1]^k| < |a[n]^k-b[n]^k|

となるkが存在していることを示せばよい。

つまり、正数n、正の実数 aくb、c<d、b≠d、がある時、適当な整数k
をえらベば

n|a^k-c^k| < |b^k-d^k|

にできる

という問題に帰着します。
ここまでくればもうあまり難しく無いと思います。。

この回答へのお礼

せっかく書いていただいたのに申し訳ないです。かなり考えていますが理解できていません…

お礼日時：2015/12/30 12:54

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/29 08:26

a2=a1+c2…an=a1+cn

などとしてみたらどうでしょうか？