LINUXでHTML内（複数行）の<div class="main">から</div>までを抽出する

全体が必ず1行に収まっているならこれでいけると思います。

sed 's#.*\(<div class="main">.*</div>\).*#\1#g' ファイル名 | grep '<div class="main">.*</div>'

<div ...>～</div>が複数行にまたがった内容を抽出するとしたら、
sed, awk, grepなどの行処理プログラム単体では、
どうしても</div>が存在するかどうかを見極めるまで出力すべきか判断できないので、
何等か抽出した文字列を記憶しておく必要はあると思います。

あとは、perlでファイル全体を1つの文字列として、正規表現で抽出とか。
もちろんこの方法はファイルサイズがでかいとアウトです。