モンテカルロ法

I=∫ f(x) dx (0から1までの定積分）を評価するために、一様分布U(0,1)に従うU1,...,Unを用いてIn=1/n(f(U1)+...+f(Un))を計算した。

a)E[In],V[In]を求めよ。

b)f(x)=xe^xとして、Inの相対誤差が5%以下になる確率を90%とするには、nをいくらにすればよいか。
ヒント(In-E[In]/sqrt(V[In]) ～ N(0,1)としてよい）

とあって、非常に基本的な問題で申し訳ないのですが、a)がよくわかりません。意味的にn->∞の時、E[In]=Iであることはわかるのですが、a)はE[In]=Iとしてよいのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： keyguy 回答日時： 2004/08/06 16:56

V=∫(0<u<1)・(f(u))^2・duとおく

Uの確率密度をp(u)とすると
f(U)の平均は

∫(-∞<u<∞)・f(u)・p(u)・du
=∫(0<u<1)・f(u)・du=I

f(U)の分散は
∫(-∞<u<∞)・(f(u)-I)^2・p(u)・du
=V-I^2


同様にして
確率変数U1,U2,U3,・・・,Unがそれそれ独立で密度がそれぞれp(u)とすると

Inの平均はIとなり
Inの分散は(V-I^2)/nとなる

確率変数(U1+U2+U3+・・・+Un)/nの密度は
nが大きければ大きいほどN(I,(V-I^2)/n)に近い
しかしこのような近似をしなくてもパソコンを使えば
厳密に密度関数を求める事ができる
正規分布で求める場合には
この確率変数を正規化してN(0,1)を使う

0.1・I<|In-I|なる確率を0.05以下にすれば良い


正規化変数はZ=(In-I)/√((V-I^2)/n)であるから

0.1・I/√((V-I^2)/n)<|z|なる確率が0.05以下になるnを求めれば良い
正規分布表から両側の面積が0.05となる境を求めて
その境=0.1・I/√((V-I^2)/n)
とすればよい
VとIを数値計算で求めておけば求まる

この回答へのお礼

遅くなって申し訳ありません。完璧な回答ありがとうございます！
自分で計算したところ、全く同じ結果になりました。結局、n>=646ぐらいになるようです。

お礼日時：2004/08/07 02:02

No.6 回答者： keyguy 回答日時： 2004/08/06 19:50

VとIを数値計算で求めておけば求まる

は
VとIを求めておけばでる
に変更

解析的に簡単にもとまる関数なので数値計算は不要ということ

この回答へのお礼

お礼が大変遅くなって申し訳ありません。
皆様、どうもありがとうございました。
そうですね、問題が数値計算をする問題なのに、目的の値まですべて解析的にもとまってしまう（練習用のためなのでしょうが）のでちょっと不安になりました。
レポートを提出した後、ほかの人のレポートも見せてもらったところ、やはり、自分が求めた値と同じぐらいになっていました。

お礼日時：2004/08/20 14:15

No.4 回答者： yaksa 回答日時： 2004/08/05 20:14

直接計算だと、ルベーグ積分が必要になる気がするけど、その気持ちだけ書くなら、

E[f(U)] = Σy P(y<f(U)<y+dy)
= Σy P(U∈{x|y<f(x)<y+dy})
= Σy ρ({x|y<f(x)<y+dy})
= ∫f(x)dx
= I
ってことです。積分を縦の短冊の和として考えるんではなくて、横の短冊の和として考えるということ。
Ukは独立だから、E[In]=I

分散は平均の式で、f(x)の代わりに、g(x) = (f(x)-I)^2 を代入して、
V[f(U)] = E[g(U)] = ∫g(x)dx = ∫(f(x)-I)^2 dx
なので、
V[In] = 1/n * ∫(f(x)-I)^2 dx
ですね。

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/08/05 18:11

No1の回答で標準偏差となっているところは分散に訂正してください。

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/08/05 18:04

下の回答は書きかけで投稿してしまいました。

「つまりいつもSnで」の後に書こうとしたのは次のようなことです。「Snで母集団の分散の推定とすると平均として真の分散より小さい推定値になります。」

No.1 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/08/05 17:50

Inは不偏な推定量なのでE[In]=Iとしてよいと思います。

不偏でない推定量の代表は標準偏差
　Sn=Σ( Xn - Xbar )^2/n
です。不偏標準偏差は
　S'n=Σ( Xn - Xbar )^2/(n-1)
で定義されることは良く知られています。ｎを固定し、ｎ個の標本からSnを計算する操作をｋ回繰り返したとします。第i回目のSnをSniとして平均をSkとします。
　Sk=(Sn1+Sn2+…＋Snk)/k
ｋ→∞としたとき、Skは母集団の分散には収束しません。つまりいつもSnで不偏でない推定量とはこのようなものだと思います。一方、Inについては、上のSkに相当するものを作り、(nでなく)ｋを無限大とするとIに収束します。私は統計の専門家ではなく、間違っているかもしれませんのでテキストブックで確認をお願いします。