2点A(4,1,2),B(0,1,2)を通り、平面2x-y+2z+3=0に垂直な平面の方程式を求めよ

2点A(4,1,2),B(0,1,2)を通り、平面2x-y+2z+3=0に垂直な平面の方程式を求めよ。という問題が解けません。解法を教えて頂けないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： metabolian 回答日時： 2017/07/22 10:55

求める平面P1はA（4,1,2）を通るので、

P1の法線ベクトルを(a,b,c)とすると
P1：a(x-4)+b(y-1)+c(z-2) = 0 … ①
とおくことができます。
P1はB(0,1,2)を通りので、①に代入して -4a = 0 ∴a=0

また、P1はP2：2x-y+2z+3=0と垂直なので、
P1とP2の法線ベクトル同士が垂直（⇒内積がゼロ）になります。
(a,b,c)・(2,-1,2)=0
2a-b+2c=0
先ほどのa=0 を代入して、-b+2c=0 ∴b=2c

aとbの値を①に代入すると
2c(y-1)+c(z-2) =0
ここで、c≠0とすると、cで割ることができて
2(y-1)+(z-2) =0
∴ P1：2y+z-4=0 となります。

※ちなみに、c=0とした場合、b=2c=0になり、
P1の法線ベクトルが(0→)になってしまいます。
また、「2点A(4,1,2),B(0,1,2)を通り」で気づかれたかも
しれませんが、この平面P1はx軸に平行な平面です。

この回答へのお礼

とても分かりやすい解説で助かりました！ありがとうございました

お礼日時：2017/07/22 11:24