この問題がわかりません。 B(2,1,-1)を通り、法線ベクトルn*=(3,-1,2)の平面αの平面

この問題がわかりません。
B(2,1,-1)を通り、法線ベクトルn*=(3,-1,2)の平面αの平面αの方程式を求めよ。
*はベクトルの意味

そもそもなぜこれで平面が求められるのか分かりません

仮に方向ベクトルd*=(ℓ,m,n)を定めたとして、
B(2,1,-1)を通りd*=(ℓ,m,n)の直線Lは、
(x-2)/ℓ=(y-1)/m=(z+1)/n
ですよね。
これを変形して、
(1/ℓ)(x-2)-(1/m)(y-1)-(1/n)(z+1)=0

この(1/ℓ)、(1/m)、(1/n)にn*=(3,-1,2)を代入したら、
3x-y+2z-3=0となり、その直線Lの方程式が求められるだけだと思うのですが。

この直線はなぜ平面になるんですか？

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/09 19:18

B(2,1,-1)を通り,

法線ベクトル↑n=(3,-1,2)の平面α上の点を
P(x,y,z)
とすると
BからPへの
ベクトル
↑BP=(x-2,y-1,z+1)
と法線ベクトル
↑n=(3,-1,2)
は
垂直だからその内積は0になるから

(↑BP,↑n)=0
=
((x-2,y-1,z+1),(3,-1,2))=0
=
3(x-2)-(y-1)+2(z+1)=0
∴
3x-y+2z-3=0

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/09 19:14

まず、幾何学の知識として

　　点P がα上にある ⇔ n⊥(→BP)
であることは知ってないと。
あとは、n⊥(→BP) を成分表示すれば答えになります。
⊥ の定義 a⊥b ⇔ a・b=0 を素直に使って、
(3,-1,-2)・((x,y,z) - (2,1,-1))=0 です。
内積を展開して 3(x-2)-(y-1)-2(z-1)=0 とか
更に括弧を展開して 3x-y-2z=7 と書いたほうが喜ばれるかな。

貴方の疑問は、そもそも平面と直線
法線ベクトルと方向ベクトルがごっちゃになっていて
単に無茶苦茶です。多少は教科書等読んでから質問しましょうよ。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2022/05/09 17:39

平面の方程式：ax+by+cz+d=0 が与えられている場合、法線ベクトルn↑ は、n↑=(a,b,c)。

法線ベクトルの成分がn*=(3,-1,2)なので、法線ベクトルに垂直な平面の式
は
３ｘーｙ＋２ｚ＋ｄ＝０です。
座標Ｂ（2,1,-1)を含むので
６ー１ー２＋ｄ＝０
ｄ＝ー３から
平面の式は、
３ｘーｙ＋２ｚー３＝０です。

点B(2,1,-1)を通り，方向ベクトルd*=(ℓ,m,n)に平行な直線の方程式の標準形は
(x-2)/ℓ=(y-1)/m=(z+1)/n
です。
これをどのように変形して、
(1/ℓ)(x-2)-(1/m)(y-1)-(1/n)(z+1)=0となったのでしょう？

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/09 17:25

例えば、複数の階をもつ建物を見てみますと

各フロアの床面はみな、大黒柱に対して垂直ですよね
この、大黒柱がいわば法線ベクトルです
これに垂直な平面は各階の床面に相当し複数ある事になります
もし、座標を指定上げると
大黒柱に垂直で(○、△、□)を通る床面は何階の床面だ
と言うようにひとつに定まるのです

もし、地震などで、建物全体が傾いとしても
大黒柱と床面の垂直な関係は代わりんから
法線ベクトルがどの向きを向いていても、法線ベクトルに垂直な複数の平面は互いに平行であり
平面が通る座標を指定するとひとつ定まるという仕組みは変わりません

ゆえに、冒頭の問題の条件だけで
平面をひとつに絞りこむには十分なのです

貴方の直線の式変形の話は
私にはよくわかりませんでした…