素因数の個数について。(1)のとこが全体的によくわかりません。特に丸つけたとこの説明で、2の倍数の個

素因数の個数について。(1)のとこが全体的によくわかりません。特に丸つけたとこの説明で、2の倍数の個数には2^2の倍数も含まれている。とあり、それなら逆に二回数えて重複してる分ひくとおもうのですが、わけわかりません。

質問者からの補足コメント

• みなさんありがとうございます。
  なんとなくわかってきました

    補足日時：2017/10/04 08:45

• 理解できました。

    補足日時：2017/10/04 14:53

No.2 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/10/01 02:29

1から20までの数に

2の倍数、4の倍数、8の倍数、16の倍数
がそれぞれいくつあるかを数えて、足し合わせているようですね。
たとえば16はすべてに当てはまるので全体の個数からみて4回数えられています。
これは 16=2^4 なので乗数分だけ数えられていることと同じ意味になります。

2の倍数：10個　（2,4,6,8,10,12,14,16,18,20 の10個）
4の倍数：5個　（4,8,12,16,20 の5個）
8の倍数：2個　（8,16 の2個）
16の倍数：1個　（16 のみで1個）

これらをすべて足し合わせた個数だけ 2があるわけです。
すなわち、kを奇数として、
20! =k・2^18
という式で表すことができるということです。


逆に重複している分を引くやり方だと、
16の倍数：1個　（16）
16を除く8の倍数：1個　（8）
16と8を除く4の倍数：3個　（4,12,20 の3個）
16と8と4と12と20を除く2の倍数：5個　（2,6,10,14,18 の5個）
となり、
2^4 が1個、2^3 が1個、2^2 が3個、2 が5個より
4×1+3×1+2×3+1×5 =4+3+6+5 =18
答えは同じになりますが、途中煩雑になります。
そしてこのやり方では
20!ではなく100!や200!など大きい数では非常に面倒です。

やり方を比べてみれば模範解答のほうがスマートだとわかりますね。

No.3 回答者： ji6 回答日時： 2017/10/01 08:34

解答や解説を見ても分からないときは、条件を簡単にして具体的に眺めるのも1つの方法です。

考え方は、No.2の方と同じです。

1・2・3・4・5・6・7・8・9・10
= 1・(ア 2)・3・(イ 2・2)・5・(ウ 2・3)・7・(工 2・2・2)・9・(オ 2・5)

2の倍数 5個→ア、イ、ウ、工、オの2を1個ずつカウント
4の倍数 2個→イ、工の2を1個ずつ更にカウン卜追加
8の倍数１個→工の2を1個更にカウン卜追加

5+2+1=8

これでこの積に含まれる2を、重複せずにすべてカウントできました。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/09/30 23:58

確かに 2 の倍数の個数を求めるときには 2^2 の倍数も数えていますが, そこからなぜ「逆に二回数えて重複してる分ひく」と思った

のでしょうか? 「二回数えて重複してる」というのは, 具体的にはなにが重複しているのでしょうか?