数学Ⅱの三角関数の合成のαの値はふた通りあり得ませんか？

数学Ⅱの三角関数の合成のαの値について質問です。

y ＝ -2sin2x + 2cos2x + 3 の最大値と最小値を求めよ。

ただし、0 ≦ x ≦ π/2

という問題があります。

三角関数の合成より、

2√2sin(2x + α) + 3

となると思います。

αの値は

sinα = 1/√2

cosα = - 1/√2

より

3/4πでしょうか？

-1/4πでしょうか？

どちらもあり得ると思うのですが。

No.4 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/02/01 19:10

どうしたら π/4が出てくるのかを考えてみました。

y=-2sin2x +2cos2x +3
=(-2√2)sin2x・(√2 /2) +(2√2)cos2x・(√2 /2) +3
=(-2√2)sin2x・cos(π/4) +(2√2)cos2x・sin(π/4) +3

ここで並べ替えて、

=(2√2)cos2x・sin(π/4) +(-2√2)sin2x・cos(π/4) +3
=(2√2)sin(π/4)・cos2x +(-2√2)cos(π/4)・sin2x +3
=(2√2){sin(π/4)・cos2x -cos(π/4)・sin2x} +3

sin(a-b)=sina・cosb -cosa・sinb　より

=(2√2)sin(π/4 -2x) +3

このように、ようやくπ/4が出てきたわけですが、
sinの角度のカッコ内に -2x が出てきてしまいます。
しかし解答としては間違っていません。
グラフを描いてみればわかると思いますが、
y軸に対して線対称で、逆回りになっているだけです。

さらにここで -sinθ=sin(-θ) を利用して書き直してみれば、

(2√2)sin(π/4 -2x) +3
=-(2√2)sin(2x -π/4) +3

となりますが、これはsinがx軸に線対称になったものに
マイナスを付けただけとなります。
複雑にしてきましたが、
どちらの式もxの角度ととりうる数値が同じになります。

おそらくここが不思議に思っている部分なのでしょうね。
sinやcosでの表し方は一通りとは限りませんよ。


----------
ただし今回の質問の場合、
2√2sin(2x + α) + 3
という形で聞かれているわけだから、
α=3π/4 が正解となります。
条件が付いたから解答も制限されたわけですね。

No.3 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/01/31 17:43

実際に計算してみましょう。

y=-2sin2x +2cos2x +3
=(-2√2)sin2x・(√2 /2) +(2√2)cos2x・(√2 /2) +3
=(2√2)sin2x・(-√2 /2) +(2√2)cos2x・(√2 /2) +3
=(2√2){sin2x・(-√2 /2) +cos2x・(√2 /2)} +3

このとき、cosα=-√2 /2, sinα=√2 /2 を満たすαは
α=3π/4　となるから、

=(2√2){sin2x・cos(3π/4) +cos2x・sin(3π/4)} +3

sin(a+b)=sina・cosb +cosa・sinb　より

=(2√2)sin(2x +3π/4) +3

となります。
したがって -1≦sin(2x +3π/4)≦1 より
yの最大値は2√2 +3、最小値が-2√2 +3 だとわかります。


では、式の途中で
sin(a-b)=sina・cosb -cosa・sinb
を使った場合ではどうなるでしょうか。

y=-2sin2x +2cos2x +3
=(-2√2)sin2x・(√2 /2) +(2√2)cos2x・(√2 /2) +3
=(2√2)sin2x・(-√2 /2) -(2√2)cos2x・(-√2 /2) +3
=(2√2){sin2x・(-√2 /2) -cos2x・(-√2 /2)} +3

このとき、cosα=-√2 /2, sinα=-√2 /2 を満たすαは
α=5π/4　となるので

=(2√2){sin2x・cos(5π/4) -cos2x・sin(5π/4)} +3

sin(a-b)=sina・cosb -cosa・sinb　より

=(2√2)sin(2x -5π/4) +3

ここで、0 ≦ x ≦ π/2 ということから、
-5π/4 =-5π/4 +2π =3π/4
でもあるので、

=(2√2)sin(2x +3π/4) +3

とできます。
この場合でも上で計算した式と同じになりました。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/01/31 16:13

質問の答えは、既に在りますから省略します。

但し、「3/4πでしょうか？」この書き方は × ですよ。
「3/4π」では、「(4π)分の(3) 」と解釈されます。
「3π/4」か「(3/4)π」としないと。

若し、「(4π)分の(3) 」の心算ならば、「3/(4π)」。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/01/31 11:22

α=-π/4だとsinα=-1/√2,cosα=1/√2ですよ。

-π<α≦πにおいてはα=3π/4に限定されます。