三角関数の最大、最小の問題です。

θが実数全体を動くときtの最大値と最小値を求めよ。
また、そのときのxの値を求めよ。

質問者からの補足コメント

• 問題文の解き方を教えて欲しいです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/06/06 23:52

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/07 09:33

（１）まずは、t の最大、最小を求める。

三角関数の加法定理から
　　t = cosθ + sinθ
　　 = √2 [ cosθ * css(パイ/4) + sinθ * sin(パイ/4) ]
　　 =√2 cos( θ - パイ/4)
なので、n, m を任意の整数として
　　t が最大となるのは θ - パイ/4 = 2nパイ のとき、つまり
　　　　θ = パイ/4 + 2nパイ = θ1
　　　のときで、このとき
　　　　t = √2
　　t が最小となるのは θ - パイ/4 = (2ｍ + 1)パイ のとき、つまり
　　　　θ = 5パイ/4 + 2mパイ = θ2
　　　のときで、このとき
　　　　t = -√2

（別解）「微分」を使えば、t が極大、極小となるのは
　　dt/dθ =０
のときなので
　　dt/dθ = -sinθ + cosθ =０
より
　　sinθ = cosθ
よって、n, m を任意の整数として
　　θ1 = パイ/4 + 2nパイ
または
　　θ2 = 5パイ/4 + 2mパイ

これが極大か極小か調べる。
　　d2t/dθ2 = -sinθ - cosθ
これに θ1, θ2 を代入して
　　θ1 のとき　d2t/dθ2 = -√2 < 0
　　θ2 のとき　d2t/dθ2 = √2 > 0
より、θ1 で極大、θ2 で極小となる。

周期関数なので、極大が最大、極小が最小となることが分かる。

従って、t の最大値は
　　t(θ1) = cosθ1 + sinθ1 = √2
t の最小値は
　　t(θ2) = cosθ2 + sinθ2 = -√2

ちょっと面倒だが、どんな関数にでも共通に使える手法。


（２）
＞そのときのxの値を求めよ。

　x が定義されていないので、x の値は求まりません。
　問題文を再確認ください。

　f(x) の値なら求まります。（でも、この x って何？）
θ = θ1 のとき
　f(x) = √2 /4 + √2 /4 + 1/2 - √2 /2 - √2 /2
　　　= 1/2 - √2 /2
θ = θ2 のとき
　f(x) = -√2 /4 - √2 /4 + 1/2 + √2 /2 + √2 /2
　　　= 1/2 + √2 /2

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2016/06/19 12:51

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/06/06 23:46

問題はそれでいいとしてあなたの質問はなんですか?