台形波のフーリエ級数

台形波のフーリエ級数の問題です。写真の台形波のフーリエ級数を計算してみたのですが、これであっていますでしょうか？もし間違っていたら指摘してください！！回答よろしくお願いします。

　　f(t)=(Vm/α)t　(0<=t<=α)
　　f(t)=Vm (α<=t<=π-α)

A0=An=0

Bn=1/π∫[2π→0]f(t)(sinnt)dt

=1/π×4∫[α→0]f(t)(Vm/α)t(sinnt)dt + 1/π×2∫[π-α→α]Vm(sinnt)dt

=(4Vm/πα){-α(cosnα)/n+sinnα/n^2} + (2Vm/π){-cosn(π-α)/n+cosnα/n}

=(2Vm/π){2sinnα/n^2α - cosnα/n - cosn(π-α)/n}

よって、

f(t)=(2Vm/π)Σ[n=1,∞]{2sin(2n-1)α/(2n-1)^2α - cos(2n-1)α/ (2n-1)　- cos(2n-1)(π-　　　　　α)/(2n-1)}sin(2n-1)t

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2011/09/13 06:32

0～α/2と2π-α/2～2πでは1/α，さもなくば0，という周期2πの矩形波 fと，

0～πではVm, π～2πでは-Vm，という周期2πの矩形波gを考えると，
ご質問の台形波は fとgの畳み込み(convolution)に他なりません．なので，f, gのフーリエ級数を計算して，各項の係数同士の積をとれば出来上がりです．
fは偶関数なので，sine成分はなし．
gは奇関数なので，cosine成分はなし．
従って，
台形波のn次のsine成分の係数 = (fのn次のcosine成分の係数)×(gのn次のsine成分の係数)

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2011/09/09 10:23

>Bn=1/π∫[2π→0]f(t)(sinnt)dt

積分の範囲の書き方が逆です。[0→2π] または [0,2π]と書いて下さい。

>=1/π×4∫[α→0]f(t)(Vm/α)t(sinnt)dt + 1/π×2∫[π-α→α]Vm(sinnt)dt
>=(4Vm/πα){-α(cosnα)/n+sinnα/n^2} + (2Vm/π){-cosn(π-α)/n+cosnα/n}
>=(2Vm/π){2sinnα/n^2α - cosnα/n - cosn(π-α)/n}
計算間違いしてます。後ろのcosの項は±で消えるはずなのでcosのどちらかの負号を間違えています。なので残るのは前の項だけです。

>よって、
>f(t)=(2Vm/π)Σ[n=1,∞]{2sin(2n-1)α/(2n-1)^2α - cos(2n-1)α/ (2n-1)　- cos(2n-1)(π-　　　　　α)/(2n-1)}sin(2n-1)t

前の計算間違いのためこの式も間違ってます。

正：f(t)=(4Vm/(απ))Σ[n=1,∞]{sin((2n-1)α)/(2n-1)^2}sin((2n-1)t)