数II 解と係数との関係

二次方程式 x²-ax+b=0 の2つの解をα、βとする。
α+1、β+1を解とする二次方程式の1つが x²-3x+5=0
であるとき、実数a、bの値を求めよ。

答え a=1 b=3

この問題の解き方を押してえ下さい。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/04/25 15:35

「x²-ax+b=0 の2つの解がα、β 」→　ax²-a+b=(x-α)(x-β)=x²-(α+β)x+αβ＝0 。

∴ α+β=a, αβ=b ・・・① 。
「α+1、β+1を解とする二次式」→　{x-(α+1)}{x-(β+1)}=x²－(α+1+β+1)x+(α+1)(β+1)
=x²-(α+β+2)x+αβ+α+β+1 ,此れに①を代入して、x²-(a+2)x+(a+b+1) 。
問題の x²-3x+5=0 との係数比較で、(a+2)=3 , (a+b+1)=5 より　a=1, b=3 となります。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/04/25 10:38

x²-ax+b=0 の解と係数との関係から

α+β=-(-a)/1=a・・・①
αβ=b/1=b・・・②

x²-3x+5=0の解と係数との関係から
(α+1)+(β+1)=-(-3)/1=3・・・③
(α+1)(β+1)=5/1=5・・・④
⇔α+β=1・・・③’
αβ+α+β=4・・・④’

③’を①に代入して
a=1
③’を④’へ代入して
αβ=4-1=3・・・⑤
⑤を②に代入して
b=3

このようになりそうです＾＾