線形の二項間、三項間漸化式というのは どういう意味ですか？

線形の二項間、三項間漸化式というのは
どういう意味ですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/26 07:34

数列を定義する方法に、漸化式があります。

例えば公差dの等差数列は
x[n+1]=x[n]+d__①
初項x[1]=a__②
公比rの等比数列は③④のように書きます。
x[n+1]=rx[n]__③
初項x[1]=a__④
式①や③はx[n+1]とx[n]との関係を表すから、2項間の漸化式です。
3項間の漸化式の例では、フィボナッチの数列は⑤となります。
x[n+1]=x[n]+x[n－1]__⑤
x[1]=1，x[2]=1とすると、1,1,2,3,5,8,･･･という数列になります。
同じ⑤を⑥のように書くこともあります。
x[n]=x[n－1]+x[n－2]__⑥
③⑤⑥は、左辺も右辺もx[n]，x[n+1]，x[n－1]，x[n－2]，等の1次式になっています。1次式になっていることを線形といいます。線形のときは一般項が求めやすく、
等比級数の時のようにx[n]＝ｒ^nと置くとできる。3項間の漸化式の時は、rの2次方程式が出るので、その解をp，qとすると、一般項x[n]＝Pp^n+Qq^nとなる。P,Qは初項と第２項に合わせてきめればよい。
式①は、x[n]の1次式であるが、定数項dが付いているので線形ではない、上記の一般項を求める方法がそのままでは使えないので、線形ではないことになっている。定数項が無ければ、比例関係になっている。(xの付く項をすべて定数倍してもそのまま式が成り立つ)これを線形という。

この回答へのお礼

よく分かりました！
詳しくありがとうございます！

お礼日時：2018/04/27 11:25

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/25 23:37

数列の隣接する 2つの項の間で成り立つ線形な漸化式が線形の二項間漸化式だし, 連続する 3つの項の間で成り立つ漸化式が三項間漸化式

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