物理学の問題を解いていただきたいです。何卒よろしくお願いします

1.一様な重力(加速度:g)のもとで、速度に比例する抵抗力(抵抗係数:γ)を受けて運動する小物体(質量:m)があり、鉛直上向きにy軸、それと垂直にx軸をとり、運動はxy平面に限定されるものとする。
(1)運動方程式をたてなさい。(2つある)
(2)運動方程式を解きなさい。(積分定数は未定のままでよい)
(3)初期条件としてx(0)=0,y(0)=0,Vx(0)=μ,Vy(0)=w、として積分定数を定め、位置と速度を時間の関数で表しなさい。
(4)小物体が最高点に達する時間を求め、その時刻での位置を求めなさい。(μ、wはどちらも正の量とする)

2.次の微分方程式を解きなさい。
いずれもx(0)=0,x'(0)=Vo(＞0)の条件である
(1)d^2x/dt^2 + 2dx/dt + 4x = 0

(2)d^2x/dt^2 + 4dx/dt + 4x = 0

(3)d^2x/dt^2 + 8dx/dt + 4x = 0

3.一様な重力(加速度:g)のもとで、ばね定数kのばね(自然長:L)に質量mの小物体をつるした。つりあいのときの小物体の位置を原点、運動はばねに沿った向きにのみ起こるものとし、この向きにx軸とする。(つりあいの位置からさらにばねが伸びる向きを正)すると、小物体の運動方程式に重力が現れない。このことを示しなさい。

質問者からの補足コメント

• とても危機的状況だと痛感しております。
  先程授業ノートなどを参考にしながら解いていたのですが、1.(2)の問題で、変数分離をした後不定積分をした際に、Vy(t)=±e^[-(γ/m)t+ C1]-mg/γ,となってしまい、教えていただいた回答と少し異なってしまいます(Vxも同様です)。
  お時間ありましたら、教えていただけると嬉しい限りです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/07/10 14:31

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/10 14:52

No.1です。

「補足」を見ました。

＞Vy(t)=±e^[-(γ/m)t+ C1]-mg/γ,となってしまい

まあ、いいいい線までは行っていますよ。
「±」が付くことはないので、それは何かの勘違いでしょう。

e^[-(γ/m)t+ C1] = e^[-(γ/m)t] * e^C1

ということですから（x^(a+b) = x^a * x^b ですから）、C2 = e^C1 と書けば

　e^[-(γ/m)t+ C1] = C2*e^[-(γ/m)t]

です。そういう「ちょっとした、ささいなところ」で躓いているだけなら、なんとかなるでしょう。

もし、内容に不安があるなら、こんな「初級」の参考書を頼ってみてはいかがでしょうか。
https://www.amazon.co.jp/%E3%82%B9%E3%83%90%E3%8 …

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/10 10:49

「２」に微分方程式があるので、大学生なんだろうなあ。

何が分かっていて、どこからが分からないのかを書いてもらわないと、どう説明してよいのか分からない。

もし「全く分かりません」だったら、それは「非常にまずい、やばい」「これが分からないと、これから先はますます分からなくなるので、年度末に単位が取れない」ことになるので、現時点でしっかりと復習することをお勧めします。
このまま「なんとなく」先に進んでも、待っているのは「デス・マーチ」だけですから。

1.(1)
　鉛直方向：m*ay = -m*g - γ*vy　　　①
　水平方向：m*ax = 0 - γ*vx　　　　　②
で意味が分かる？

(2) (1)で方程式が立てられれば、それを解くだけ。
　①で ay = dvy/dt と書いて、変数分離して解けば
　vy(t) = C1*e^[ -(γ/m)t ] - m*g/γ　　　　　　　　③
　y(t) = -(m/γ)C1*e^[ -(γ/m)t ] - (m*g/γ)t + C2　　④
同様に ax = dvx/dt と書いて、変数分離して解けば
　vx(t) = C3*e^[ -(γ/m)t ]　　　　　　　　⑤
　x(t) = -(m/γ)C3*e^[ -(γ/m)t ] + C4　　　⑥

(3) 各々に t=0 の条件を入れて、力ずくの式変形で行けるはず。
自分でやってみてください。
　C1 = w + m*g/γ
　C2 = (m/γ)C1 = (m/γ)w + (m/γ)^2*g
　C3 = μ
　C4 = (m/γ)C3 = (m/γ)μ
になるかな？

(4) は、③から vy(T)=0 となる T を求めて、④⑥で y(T), x(T) を計算するだけ。式は複雑だけど、力ずくでやるしかない。


2.典型的な２階微分方程式ですから、これが解けないとまずいです。
「特性方程式」の根が3種類の各々の場合です。
どうして下記になるのかは、テキストをよく復習してください。

(1) λ^2 + 2λ + 4 = 0
この解は複素解
　λ = [ -2 ± √(4 - 16) ]/2 = -1 ± i√3
なので、与微分方程式の一般解は
　x = e^(-t) [ C1*cos(√3t) + C2*sin(√3t) ]

(2) λ^2 + 4λ + 4 = 0
　→　(λ + 2)^2 = 0
この解は重根
　λ = -2
なので、与微分方程式の一般解は
　x = (C1 + C2*t)e^(-2t)

(3) λ^2 + 8λ + 4 = 0
この解は2つの実数解
　λ = [ -8 ± √(64 - 16) ]/2 = -4 ± 2√3
なので、与微分方程式の一般解は
　x = C1*e^[(-4 + 2√3)t] + C2e^[(-4 - 2√3)t]


3. これは高校物理の問題ですよ。ばねの復元力は「つりあいの位置」からの変位を x とすると
　F = -kx
ですから、運動方程式は
　ma = -kx
です。
たったこれだけの問題。「基本中の基本」です。