コンデンサーと電位差の問題

問題文は、次の通りです。
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3枚の同じ形の薄い極板でできている平行板コンデンサーが起電力Vの電池、スイッチSと左の図のように接続されている。極板P1、P2は固定されていて間隔は2dである。dは極板の大きさに比べて十分小さいものとする。極板P0は極板P1、P2の間を平行に保ったまま、極板に垂直な方向に移動させることができ、極板P0の位置は中央から測った距離xで表すことにする。ただし、xはP1からP2へ向かう向きを正とする。極板P0の位置がx=0のとき、極板P0、P1間の電気容量をC0とする。
極板P0の位置がx=0の状態でスイッチSを閉じてしばらく放置する。そのままの位置でスイッチSを開いたあと極板P0を-d<x<dの範囲でゆっくり移動させる。
(1)極板P0のもつ電荷Q0を求めよ。
(2)極板P0P1間の電気容量をC1(x)、極板P0P2間の電気容量をC2(x)とする。C1(x)、C2(x)を表す式を求めよ。
(3)極板P0、P1、P2のもつ電荷Q0(x)、Q1(x)、Q2(x)を求めよ。
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これに対して、(2)までは解けました。解答には、次のようにありました。
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(1)Q0=-C0V-C0V=-2C0V…(答)
(2)コンデンサーの容量は、極板間隔に反比例するので、
C1(x)={d/(d+x)}C0
C2(x)={d/(d-x)}C0
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添付した図は、スイッチを開いたあと、極板P0を移動させる前と後の様子を記しました。すでに分かっている(1)、(2)の答え、P0の電荷の総和-2C0Vは、図に書き込みました。

しかし、(3)が分かりませんでした。解答には、次のようにありました。

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(3)Sを開いているので、極板P0の電荷は不変であるから、
Q0(x)=Q0=-2C0V
このことと、P0を移動後の「P1P0およびP2P0間の電位差が等しい」ことから、
・-Q1(x)-Q2(x)=-2C0V
・Q1(x)/C1(x)=Q2(x)/C2(x)
∴Q1(x)=C1(x)/{C1(x)+C2(x)}・2C0V
□□□□={(d-x)/d}C0V
Q2(x)={(d+x)/d}C0V
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(3)の解答の、「P1P0およびP2P0間の電位差が等しい」となる理由、このことがどういう現象なのかが分かりません。

極板P0は、空間的に孤立していますが、「孤立した導体の電位は不変」ということなのでしょうか？
P0の電荷の総和は、-2C0Vで不変でしょうが、極板の表と裏で、それぞれ向かい合う極板P1またはP2の電荷との作用によって、それぞれP1側の面には-Q1、P2側の面には-Q2と、異なる量に分配されると思います。極板P0のP1側の面とP2側の面に存在する電荷がこのように違うので、コンデンサーの《電荷》＝《電気容量》×《電位差》の式を各コンデンサーについて立てようと思っても、私に分かるのは《電気容量》のみで、《電位差》について「P1P0およびP2P0間の電位差が等しい」という事が成り立つ理由が分かりません。どういう定理にもとづいて、このことが言えるのでしょうか。何度も解答文を読み直して、参考書もいろいろ読みあさりましたが、どうにも理解できません。

上で言ったように、「孤立した導体の電位は不変」ということなのでしょうか。

どなたかご教授下さい。よろしくお願い致します。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/25 13:03

No.2です。

ちょっと見直したら、最後のところが間違っていますね。
最後の6行を、下記のように訂正してください。単純な早トチリの計算間違い。

（誤）
これから上の V' を求めてみれば
　V' = Q1/C1 = { (d - x) / d) } * C0*V / { [ d/(d + x) ]*C0 }
　　= [ (d - x) / (d + x) ]*V
となって、「P0 の電位は、一定ではなく、ｘの値によって変化する」ことが分かります。

（訂正）
これから上の V' を求めてみれば
　V' = Q1/C1 = { (d - x) / d) } * C0*V / { [ d/(d + x) ]*C0 }
　　= [ (d - x)(d + x) / d^2 ]*V
　　= [ (d^2 - x^2) / d^2 ]*V
　　= [ 1 - (x/d)^2 ]*V
となって、「P0 の電位は、一定ではなく、ｘの値によって変化する」ことが分かります。

この回答へのお礼

ご親切にありがとうございます。

自分でも計算してみて確認しました。

極板P1、P2が接地されていて電位が等しく0、極板P0はそれより電位が低く、負の電荷を持つことから、V=5
V、d=1 mmなどとおいてP0の電位対x(-d<x<d)のグラフをエクセルで描いてみましたが、極板P0の電位は、x=0を極小とする下に凸の二次曲線になりますね。

「導体内の電位は、どこでも等しい」

こと、よく理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2018/07/27 06:58

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/25 12:51

＞「P1P0およびP2P0間の電位差が等しい」となる理由、このことがどういう現象なのかが分かりません。

何か、難しく考えすぎていませんか？　それが何かの「法則」から導かれるような「妄想」に取りつかれていませんか？

まず、P0 が導体である以上、P0 の電位はどこをとっても均一です。もし電位差があれば、均一になるまで電流（電荷）が移動しますから。

一方、P1, P2 は導体で接続されているので「同電位」です。これも、もし電位差があれば、均一になるまで電流（電荷）が移動しますから。

この2つを合わせて考えれば、「P1P0およびP2P0間の電位差が等しい」は自明ではありませんか？
もし、「そうでないこともあり得る」とお考えでしたら、その理由を示していただきたいです。

＞極板P0は、空間的に孤立していますが、「孤立した導体の電位は不変」ということなのでしょうか？

「電位」とは、どこかを基準にしたときの、その基準に対する「電気的ポテンシャル」です。
その意味で、図ではP1, P2 は接地されていますので、ここを基準の「電位ゼロ」と考えろということです。
「P0 に帯電した電荷が変わらない」という条件で、「基準となる P1, P2 に対する電位がどうなるか」つまり「P0/P1 間の電位差、P0/P2 間の電位差」を調べ、「P1, P2 が同電位」なので「この2つの電位差は等しい」という条件で、「P0 の電位」が決まります。
初めから「P0 の電位は、場所によらず一定である」という条件があるわけではありません。
実際に、ｘの値によって「P0 の電位」は変わります。

＞P0の電荷の総和は、-2C0Vで不変でしょうが、極板の表と裏で、それぞれ向かい合う極板P1またはP2の電荷との作用によって、それぞれP1側の面には-Q1、P2側の面には-Q2と、異なる量に分配されると思います。極板P0のP1側の面とP2側の面に存在する電荷がこのように違うので、コンデンサーの《電荷》＝《電気容量》×《電位差》の式を各コンデンサーについて立てようと思っても、私に分かるのは《電気容量》のみで、《電位差》について「P1P0およびP2P0間の電位差が等しい」という事が成り立つ理由が分かりません。どういう定理にもとづいて、このことが言えるのでしょうか。

最後の「どういう定理にもとづいて、このことが言えるのでしょうか。」は上に書いたとおりです。「定理」などという高級なものではなく「P1, P2 の電位が等しい」「P0 の電位は各部分で均一」ということから導かれる「自明のこと」としか言いようがありません。

P0 の中で、P1/P0間、P2/P0間の電場によって電荷が偏在するのはそのとおりです。「電荷が偏在」することで P0 内部の電位が一定、電場がゼロになります。

従って、
・P0 のP1側の面には-Q1
・P0 のP2側の面には-Q2
が帯電したとすると、P0 の電荷は行き場がないので
　-Q1 + (-Q2) = Q0 = -2C0*V　　　　①
という関係が成り立ちます。

さらに、「コンデンサー」の原理から、当然のことながら
・P1 の表面には +Q1
・P2 の表面には +Q2
が帯電することになります。こちらは「接地」されていますから、初期状態からの電荷の変化分は「大地」との間でやり取りします。

従って、「P1P0およびP2P0間の電位差」が等しいことを納得してもらった上で、これを V' とおけば（当然のことながら、これは①式に使っている V とは違うものです）
　Q1 = C1*V'
　Q2 = C2*V'
これから未知の可変量である V' を消去すれば
　Q1/C1 = Q2/C2
となり、これから
　Q2 = (C2/C1)Q1　　　②
として①に代入すれば
　-Q1 - (C2/C1)Q1 = -2C0*V
→　[ (C1 + C2)/C1 ]Q1 = 2C0*V
→　Q1 = [ C1/(C1 + C2) ]*2C0*V　　　③

ここに (2) でもとめた
　C1 = { d/(d + x) }*C0
　C2 = { d/(d - x) }*C0
を③に使えば
　Q1 = { [d/(d + x)] / [ d/(d + x) + d/(d - x) ] }*2C0*V
　　　= { [d/(d + x)] * [(d + x)(d - x)] / [ d(d - x) + d(d + x) ] } * 2C0*V
　　　= { d(d - x) / (2d^2) } * 2C0*V
　　　= { (d - x) / d) } * C0*V
よって②より
　Q2 = (C2/C1)*{ (d - x) / d) } * C0*V = { (d + x) / d) } * C0*V

これから上の V' を求めてみれば
　V' = Q1/C1 = { (d - x) / d) } * C0*V / { [ d/(d + x) ]*C0 }
　　= [ (d - x) / (d + x) ]*V
となって、「P0 の電位は、一定ではなく、ｘの値によって変化する」ことが分かります。

＞上で言ったように、「孤立した導体の電位は不変」ということなのでしょうか。

と書かれていることが「当たらない」ことがお分かりでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。よく分かりました。

極板P1とＰ2、極板P0内のP1側の表面とP2側の表面のそれぞれが、

「存在する電荷の量が異なるにもかかわらず、電位が等しい」

というのに違和感を感じておりました。

これについて自分でいろいろ調べており、その現象についての理解を深めて、本問題についても理解できるようになりました。

導体の中では、(もちろん電気抵抗が0という仮想的な条件を前提に)電荷は偏在していても、電位は等しい、電荷はエネルギーや仕事をうけることなく移動することができる、ということですね。

電荷、電位、電流、電界などの理解が不十分であり、それについて今回理解が深まりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2018/07/27 06:49

No.1 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/25 08:12

P1とP2は電線で接続されていますから、キルヒホッフの電圧則より「P1P0およびP2P0間の電位差が等しい」となります。

参考までに、P0の電位Vxは、

Vx＝-(d^2-x^2)V/d^2

となります。

この回答へのお礼

キルヒホッフの法則というのは違うようですが、等しいようですね。ありがとうございました。

お礼日時：2018/07/27 06:41