図のような上底面、下底面が共に正六角形で、側面はすべて両底面に垂直な正方形である六角柱がある。頂点O,A,B,C,D,E,Fを図のようにとり、↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OC=↑cとするとき、以下の問いに答えよ。
(1)辺DE上に↑DP=s↑DE(0≦s≦1)を満たす点Pをとる。このとき、↑OPを↑a,↑b,↑c,sを用いて表せ。
(2)辺BF上に点Qを、2直線OP,AQが交わるようにとる。↑BQ=t↑BF(tは実数)とおくとき、sとtの間に成り立つ関係式を求めよ。
(3)s=0の時の3点O,P,Qを通る平面をπ0とし、s=1の時の3点O,P,Qを通る平面をπ1とする。六角柱の各辺の長さが1の時、六角柱でπ0とπ1に挟まれる部分の体積を求めよ。
解き方と答えを教えてください。お願いします。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
要点だけかいつまんでいうと
(1)
Dから上にのびている辺とAから出てる辺との交点
つまりDの真上にある、上面の正六角形の頂点をGとすれば
↑OP=↑OA+↑AG+↑GD+↑DPで
上面が正六角形ということから↑AG=↑OA+↑OB=↑a+↑b
したがって
↑OP=2↑a+(1+s)↑b+↑c
(2)
(1)と同じように↑AQ=-↑a+↑b+t↑cが出る。
そしてOPとAQの交点をRとすれば
↑OR=↑OA+↑ARでm、n定数として
↑OR=m↑OP、↑AR=n↑AQと書けるから
m(2↑a+(1+s)↑b+↑c)=↑a+n(-↑a+↑b+t↑c)
この両辺の↑b、↑cの係数を比較して1+s=1/tになります。
(3)
(2)よりs=0のときt=1したがってP=D、Q=F
したがってπ0は線分AOとDFを通る平面です。
また
s=1のときt=1/2
このときはπ1は線分AOと、下段の正六角形のEから出てAOと対向している
辺、この2辺を通る平面になることに注意です。
したがって求める体積は、この六角注全体の体積の1/4です。
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