三角関数について。

△ ABCにおいて、AB = 1、角ABC=θ、角ACB=π/2である。点Cから辺ABに垂線を引き、辺ABとの交点をHとする。
AC=ア、また、AH=AC×イ、CH=AC×ウであることからAH=エーcosオθ/カ、CH=sinキθ/クと表され,L=AH+CHとすると、L=√ケ/コsin(サθ-π/4)+ス/セと変形できる。
0＜θ<π/2であるから、Lはθ=ソπ/タの時、最大値チ+√ツ/テをとる。
(2)0<θ<π/4とする。△ BCHの面積をS1、△ACH の面積をS2とすると、
S1-S2=sinトθ/ナと表され、S1 －S2はθ=π/ニの時、最大値ヌ/ネをとる。
教えていただけると幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/22 13:09

何が分からなくての質問ですか？

ちゃんと図を描いていますか？
あとは、三角関数の加法定理、2倍角の公式を使えばよい。

AC = sin(θ)　　　　　　　　　　　　　　　　←ア
AH = AC*cos(パイ/2 - θ) = AC*sin(θ)　　　←イ
CH = AC*sin(パイ/2 - θ) = AC*cos(θ)　　　←ウ
より
　AH = sin^2(θ)
　CH = sin(θ)*cos(θ) = (1/2)sin(2θ)

ここで
　cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = [ 1 - sin^2(θ) ] - sin^2(θ) = 1 - 2sin^2(θ)
より
　sin^2(θ) = (1/2)[ 1 - cos(2θ) ]
なので
　AH = [ 1 - cos(2θ) ]/2　　　←エオカ　　解答欄に「カッコ」が抜けている？　
　CH = sin(2θ) /2　　　　　　　←キク

L = AH + CH = 1/2 + [ sin(2θ) - cos(2θ) ] /2

ここで、
　sin(2θ) - cos(2θ) = √2 [ (1/√2)sin(2θ) - (1/√2)cos(2θ) ]
　　　　　　　　　= √2 [ cos(パイ/4)*sin(2θ) - sin(パイ/4)cos(2θ) ]
　　　　　　　　　= √2 sin(2θ - パイ/4)
ですから、
　L = (√2 /2)sin(2θ - パイ/4) + 1/2　　　←ケコサスセ　　あれ「シ」がないね？

0<θ<パイ/2 なので 0<2θ<パイ、従って - パイ/4 < 2θ - パイ/4 < (3/4)パイ であるから
　-√2 /2 < sin(2θ - パイ/4) ≦ 1
よって
　2θ - パイ/4 = パイ/2 つまり 2θ = (3/4)パイ、θ = (3/8)パイ　
のとき、L は最大値
　(1 + √2)/2
をとる。　　　　　　　←ソタチツテ　ここも解答欄に「カッコ」が抜けている？　


(2)
S1 = (1/2)BH*CH = (1/2)cos^2(θ) * [ cos(θ)*sin(θ) ] = (1/2)sin(θ)*cos^3(θ)
S2 = (1/2)AH*CH = (1/2)sin^2(θ) * [ cos(θ)*sin(θ) ] = (1/2)sin^3(θ)*cos(θ)

よって
　S1 - S2 = (1/2)sin(θ)*cos(θ)*[ cos^2(θ) - sin^2(θ) ]
　　　　　= (1/2) * [ sin(2θ) /2 ] * cos(2θ)
　　　　　= (1/4) sin(2θ) * cos(2θ)
　　　　　= (1/8) sin(4θ)

0 < θ < パイ/4 なので、0 < 4θ < パイ、従って
　4θ = パイ/2 つまり θ = パイ/8　
のとき、最大値
　1/8
をとる。　　　　　　　←トナニヌネ

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/10/22 13:57

条件に近い形の △ABC を書いてみましょう。

三角形の相似や三平方の定理などから、
各辺の長さが分かる筈です。

全部分からない と云うことは無い筈ですから、
分かったことと 分からない事とを
区別して 再質問してください。