(x≧0) x-x²/2≦log(x+1)を証明する際、log(x+1)をxの最小値である0周りでテ

(x≧0) x-x²/2≦log(x+1)を証明する際、log(x+1)をxの最小値である0周りでテイラー展開をして証明しようとしました。
この場合、結果、log(x+1)≒x-x²/2+x³/3
となり、証明できると思ったのです。
ここで、展開した方に(二次までの項の結果だけで考えて)、x=3を代入すると−の値が出てきました。(3-9/2)私は、テイラー展開は前項より小さい値が出てきてそれを足していくことで徐々に値が収束していく(？)と思ったのですが違うのでしょうか。これを、次の項にも全て行うと、マイナスの値の方が大きくなるということは起きないのでしょうか。
できれば、テイラー展開(マクローリン展開)のグラフ的近似の意味も合わせて教えてください。(例えば、下図のような感じだということも聞いたのでその考えでいいのか、のような。)


それと、このテイラー展開で考えた時、
log(x+1)≦x
であると、上のように仮に3を代入した時、
3-2/9+27/3≦3 のようになり、不適だと思ってしまいました。(これが疑問の発端です。)
この不等式の証明も合わせて教えていただければ有難いです。


拙い文章ですが、どうか宜しくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 下図を挿入し忘れていたので追加させていただきます。

  
    補足日時：2018/10/31 02:16

• すると、収束半径を計算して範囲を出しておいた方が良いということですか？

    補足日時：2018/10/31 08:13

• 皆さま、回答ありがとうございます。
  ご指摘の、増減表からの求め方は理解しているので大丈夫です。ただ、左辺の形がマクローリンだったので少し気になり考えた所存でした。
  ありがとうございました。

    補足日時：2018/11/01 08:44

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/10/31 15:28

単にf(x)=右辺-左辺としてf(x)を微分して増減表を書けばよい。

>テイラー展開は前項より小さい値が出てきてそれを足していくことで徐々に値が収束していく(？)と思ったのですが違うのでしょうか

そうなるとは限らない。
たとえばe^xのマクロ―リン展開を考えてみればよい。(この収束半径は∞)
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...
ですが、第n項の大きさと第n+1項の大小関係はxの大きさに依存します。x>nであればx^(n-1)/(n-1)!<x^n/n!は明らかです。もちろんx^n/n!はどんなにxが大きくてもn→∞とすれば0に収束しますが、途中の項が前の項よりも小さいとは言えないのです。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/11/01 02:24

もともとの不等式についてだけいえば, テイラー展開を持ち出した時点で方向性を間違えている. #2 で言われているように, 単純に処理した方が簡単だし間違いない.

で, もとの不等式は見なかったことにしてテイラー展開を考えると, 収束半径を気にしないとダメですよってこと. 実際 log(1+x) の収束半径は 1 だから, そのテイラー展開に絶対値が 1 より大きい値を入れると収束しなくなる. 例えば x=3 なんて代入すると, 先の方の項ほど (絶対値が) 大きくなって収拾がつかなくなるから.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/10/31 02:37

テイラー展開に限らず, べき級数には収束半径つまり「その級数が有効である範囲」があります.

当然, 収束半径を越えたような値に対してべき級数は (単純な) 意味を持ちません.