図形問題、最小値

A（√３/3,0)B(-√３/6,1/2)とする。
Pをｘ＾２＋ｙ＾２＝１上の点とする。このとき、　AとP,BとPの距離の和AP+BPが最小となるときPの座標とその最小値を求めよ。
自分で解きたいのでヒントが欲しいのですが、
A,BのOからの距離がともに等しいことから円をOを中心に回転して座標を取り直す。
そして、それぞれ√で距離を出す。
必要に応じて微分する。としようとしましたが思いのほかルートが外れず、苦戦しています。
図形的性質を考慮してみましたが大したことがわかりません。
助けてください。

質問者からの補足コメント

• 楕円を補助にする。（長軸の長さが最小⇔２つの焦点からの和が最小）を使おうとしましたが、簡単に議論できそうな感じではありません。

    補足日時：2018/12/13 13:30

• 曲線同士を比較することを嫌って詳しく見ていないのですが、
  円と楕円が２点で内接している状態で、最小値をとるという感じなのでしょうか？

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/12/13 15:48

• 自分でも図を描いてみてその通りだと思いました。
  ありがとうございます。
  他によい方法はあるでしょうか？
  少し高級でも（高校数学の範囲を超えても）よいのでアイデアだけでも教えてください。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/12/13 17:34

• 

  回答ありがとうございます。
  調べてみると、全く同じ問題で誘導で、「原点O以外の点Qに対して点Q´を→OQと→OQ´が同じ向きでOQ・OQ´＝１を満たすようにとるとき、PQ対PQ´＝OQ対１を満たすことを示せ」とあり、
  この変換をA,Bに施しA´、B´がとれて折れ線≧線分から最小値√３を得るという流れのものがありました。
  反転？をこうやって図形量の解析で使うと有効なのは初めて知りました。
  奥深いですね。

  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/12/13 21:37

No.8 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/12/13 20:34

No.7です。

訂正です。

誤：極大値の部分が、AP=BPのとき（つまり、Pが、ABに垂直に交わる直線と円との交点のとき）で、
↓
正：極大値の部分が、AP=BPのとき（つまり、Pが、ABの垂直二等分線と円との交点のとき）で、


この問題、f(θ)を微分するのもf'(θ)=0を解くのも面倒なので、試験場では楕円を補助に使うのがいいでしょうね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2018/12/14 01:12

No.9 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/12/13 23:53

AP>0、PB＞0であり、相加相乗の関係よりAP＋PB≧2√(AP･PB)がいえるので、AP＋PBの最小値は2√(AP･PB)となる。

また、AP＝PBの時に最小値2√(AP･PB)を取る。
だから、AP＝PBなる点Pの軌跡（＝線分ABの中点を通り、線分ABと垂直な直線）で、円x^2＋y^2＝1との交点のうち、x座標が正である点が求める点Pの座標となる。
点Pの座標がわかれば、AP＋PBの最小値も求められます。

ここから攻めてはいかがでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2018/12/14 01:12

No.7 回答者： springside 回答日時： 2018/12/13 20:26

下の方に、「AP=BPのときが最小」という主張がありますが、その根拠はどのようなものでしょうか？

直観的にはそのように思えますが、実は、その主張は間違っています。

P(cosθ,sinθ)とおいて、AP+BP=√{(cosθ-√3/3)²+sin²θ}+√{(cosθ+√3/6)²+(sinθ-1/2)²}=f(θ)として、
f(θ)のグラフを描くと、添付画像のようになります（0≦θ≦2の範囲で書いています）。
（縦軸、横軸の数値に注意してください）

極大値の部分が、AP=BPのとき（つまり、Pが、ABに垂直に交わる直線と円との交点のとき）で、当然、これは最小ではありません。

f(θ)が最小になるのは、その極大値の左右にある極小値の部分です。

それはf'(θ)=0を解いて求めることができます。かなり面倒な計算ですが、一生懸命計算すると、f'(θ)=0になるのは、
θ=π/6、π/3、π/2のときということが判ります。

θ=π/6、π/2のときが極小値（かつ最小値）で、f(π/6)=f(π/2)=√3となります。
なので、求める答は、AP+BPが最小になるPの座標は(√3/2,1/2)、(0,1)で、最小値は√3ということになります。

ちなみに、極大値はf(π/3)=2√{(4-√3)/3}となり（この二重根号は外せません）、数値にすると1.7389457…となって、√3=1.7320508…
よりも大きいです（当然ですが）。

No.6 回答者： 20170130 回答日時： 2018/12/13 16:12

楕円上の点Qは、AQ+BQ=一定なので

円上の点Pが楕円の内側にあれば　AP+BP < AQ+BQ
楕円の外側にあれば　AP+BP > AQ+BQ

楕円と円が接するとき接点以外の円上の点は楕円の外側にあって
接点が楕円上にあるので、接点で AP+BP は最小になると考えられると思います

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2018/12/14 01:12

No.5 回答者： 20170130 回答日時： 2018/12/13 14:38

楕円を標準形で書けるように

点A'(1/2,0)、点B'(-1/2,0)
円の中心を(0,(-1/6)*√3)
として
円と楕円が接する条件で接点を求めて計算すると
AP+BP=√3 となりました

No.4 回答者： ワヲン 回答日時： 2018/12/13 13:03

横槍申し訳ありません。

ABの中点を通る法線は、図形的な感覚で気づいていたのですが、
その理由を上手く明示出来なかったのと、
その方法で最小値を求めてみたのですが、二重根号が外れず断念していました。
そもそも答えはキレイなのだろうか？
ある種、質問者に同感していまいました。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2018/12/14 01:12

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2018/12/13 12:32

2交点のうち、xの値が正の方！

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2018/12/13 11:51

2点から単位円の円周角上の点Pまでの距離が等しい時だから、

二等辺三角形の角APBの二等分線は、ABの中点を通る法線であって、その法線と単位円との交点が点P ！

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2018/12/14 01:13

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2018/12/13 09:58

2定点からの距離の和が一定な点の軌跡は楕円