表現行列

表現行列とは何ですか?わかりやすく説明してください

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/27 17:22

線型写像の成分表示のことです。

n次線型空間Vからm次線型空間Wへの線型写像があったとします。
Vの元ｘは、Vのひと組の基底{v1,v2,...,vn}とスカラーx1,x2,...,xnを用いて
x=(x1)v1+(x2)v2+...+(xn)vnと一意に表せます。
Wの元yも、Wのひと組の基底{w1,w2,...,wm}とスカラーy1,y2,...,ymを用いて
y=(y1)w1+(y2)w2+...+(yn)wn と一意に表せます。
これを、ベクトルの成分表示と呼びますよね。 成分表示を使って

xをyへ移す写像は(x1,x2,...,xn)を(y1,y2,...,ym)へ移す写像と考えてもよい
ことにまりますが、その写像ｆが線型写像であれば、m行n列の行列 A を用いて
y=f(x) ⇔ (y1,y2,...,ym)^T = A (x1,x2,...,xn)^T と書けるのです。←[*]
(ここで、^T は転置を表す記号です。) なぜそうなるかというと、もともと

行列の積という計算は、この[*]が成り立つように考案されたものだからです。
[*]を転地して (y1,y2,...,ym) = (x1,x2,...,xn) A^T と書いてもいいのですが、
A^TではなくAのほうを「表現行列」と呼ぶのが習慣です。

Aはmn個の成分を持ちますが、これが、
基底{v1,v2,...,vn},{w1,w2,...,wm}上のfの成分表示です。

Aの第i行j列成分を a[i,j] と書くと、
f(vj) = a[1,j]w1+a[2,j]w2+...+a[m,j]wm の関係があります。
このことを、「Aの第j列は第j基本ベクトルの像になっている」と言います。

この回答へのお礼

なるほど。
*は連立方程式の
ax+by=c dx+ey=fを
(x)(a b)=(c)
(y)(c d)=(d)みたいに変形するみたいなやつですか?

お礼日時：2019/06/27 17:48