arcsin(√(1-x^2))の微分

arcsin(√(1-x^2))を微分せよという問題なんですが他の質問サイト等を見ていると-1/√(1-x^2)が答えになっているんですが、
どうしても計算結果がx/(|x|√(1-x^2))になってしまうんです。
間違っているでしょうか？

質問者からの補足コメント

• すいません計算結果写し違えで-x/(|x|√(1-x^2))です

    補足日時：2019/08/15 17:26

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/16 15:46

y = arcsin√（1-x^2）と置くとsin y = √（1-x^2）

両辺をxで微分すると、
d (siny)/dy*dy/dx=cosy*y'= (1/2)(1 - x²)⁻¹/² ＊ (-2x) = - x / √（1-x²）
ところで (cos y)² = 1 - (sin y)² = １-1+x²＝ｘ² でこの場合 cos y =± √x²＝± x から
上で求めた式から、
±ｘ＊y' = - ｘ/ √（1-x²）
ｙ’＝±１/ √（1-x²）
でっせ。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/08/16 09:39

AN04訂正(^^;

>x>0でx/|x|=1, x<0で-x/|x|=-1
→ x>0でx/|x|=1, x<0でx/|x|=-1

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/08/16 09:36

arcsin√(1-x^2)は添付図のとんがり帽子になるので

あなたがサイトで見つけてきた答えはx>0の場合でしょうね。
x=0で微分不能、x<0では微分係数の正負は逆転
x>0でx/|x|=1, x<0で-x/|x|=-1
だから、あなたの答はx>0でサイトの答えと一致、x<0でも問題なし。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/15 22:10

No.2 さんが書いているように、あなたの計算であっています。

-1/√(1-x^2) と答えた人は、x>0 の範囲だけを考えてしまったのでしょう。
x=0 では微分不能なので、分母に |x| が入っていても問題ないし...
でも、どちらかと言うと、x/|x| を使って書くよりは
x>0 のとき -1/√(1-x^2),
x<0 のとき 1/√(1-x^2) と場合分けして書いたほうが簡明でよいと思います。

No.2 回答者： fef 回答日時： 2019/08/15 21:29

arcsin(x) の微分公式を使って求めることもできますが，今回はもう少し地道に求めてみます．

まず，逆関数の微分を求める際の定石通り，
　y = arcsin[sqrt(1 - x^2)]
　(-pi/2 <= y <= pi/2)
とおきましょう．
すると，
　sin(y) = sqrt(1 - x^2)
となりますから，両辺を x で微分すると，
　cos(y) * (dy/dx) = -x / sqrt(1 - x^2)　……(*)
となりますね．
ここで，左辺の cos(y) について
　cos(y)
　= sqrt[1 - sin^2(y)]
　= sqrt[1 - (1 - x^2)]
　= |x|
と計算できることに注意しましょう．
これを(*)に代入して整理することで，
　dy/dx = -x / [|x| * sqrt(1 - x^2)]
という結果が得られます．

答えに負号が付かなかったのでしたら，(*)の計算あたりで間違っているのではないでしょうか．

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/08/15 17:47

自分の計算だと、違う答えになります。

y=arcsin(√(1-x^2))とすると、
√(1-x^2)=siny

dy/dx=1/(dx/dy)
=1/cosy
=1/√(1-(siny)^2)
=1/√(1-(√(1-x^2))^2)
=1/√(1-(1-x^2))
=1/√(x^2)
=1/|x|