楕円において短半径は焦点から楕円の周上の点との距離の最大値と最小値の幾何平均である事の証明方法を教え

楕円において短半径は焦点から楕円の周上の点との距離の最大値と最小値の幾何平均である事の証明方法を教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/28 18:43

幾何で？ それは大変。

座標計算でなら簡単。

楕円 (x/a)^2 + (Y/b)^2 = 1 ただし 0 < b < a の
短半径は b、
焦点は (±√(a^2-b^2), 0) で
周上 (√(a^2-b^2), 0) から最も遠い点は (-a,0)、
最も近い点は (a,0) である。
以上は、(x/a)^2 + (Y/b)^2 = 1 の図を書けば判る。

焦点から周上への距離の最大値と最小値の幾何平均は、
幾何平均の式どおりに
√{ (√(a^2-b^2) - (-a))(a - √(a^2-b^2)) }
= √{ a^2 - (a^2-b^2) }
= √{ b^2 }
= b.