数学A、整数の性質

次の等式を満たす整数a,bの組をすべて求めよ。
2ab-a-b=1
本日中に、至急お願いします！！

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/10/29 20:13

両辺に2を掛ける。

4ab-2a-2b-2=0

変形する
4ab-2a-2b+1-3=0
(2a-1)(2b-1)-3=0
(2a-1)(2b-1)=3

整数だから
(2a-1)=1、(2b-1)=3、より(a,b)=(1,2)
(2a-1)=3、(2b-1)=1、より(a,b)=(2,1)

(2a-1)=-1、(2b-1)=-3、より(a,b)=(0,-1)
(2a-1)=-3、(2b-1)=-1、より(a,b)=(-1,0)

この回答へのお礼

ありがとうございます！大変わかりやすかったです！！

お礼日時：2019/11/03 21:29

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/10/29 20:36

2ab-a-b=1

2ab=a+b+1
2ab=(a+1)(b+1)-ab
3ab=(a+1)(b+1)

a+1 と a は互いに素、b+1 と b は互いに素。
よって、
(1) a+1=3bk , a=(b+1)k　
(2) b+1=3ak , b=(a+1)k
(ｋは整数)とおける。

(1)より、
(b+1)k+1=3bk
bk+k+1=3bk
1=2bk-k
k(2b-1)=1

よって、
① k=1 , 2b-1=1
b=1
(1)に代入して、a=2

②k=-1 , 2b-1=-1
b=0
(1)に代入して、a=-1

(2)も同様にして、
① a=1 , b=2
② a=0 , b=-1

以上より、この等式を満たす整数 (a , b) の組は、
(2 , 1) , (-1 , 0) , (1 , 2) , (0 , -1)