フェルミ粒子とボーズ粒子

フェルミ粒子とボーズ粒子について調べてるために、いろいろな文献を読んではみたですが「フェルミ分布ディラック」「ボーズアインシュタイン分布」というのがどのように関係しているのか分からなく、行き詰まってしまいました。
フェルミ粒子とボーズ粒子を量子統計力学を用いて示すとなるとどのように説明すればいいのでしょうか？

分かる方がいましたらよろしくお願いします。

No.1 回答者： shiara 回答日時： 2004/12/27 23:48

　まず、2個の同じ種類の粒子がある場合を考えます。

粒子1の座標をx1、波動関数をφ1、粒子2の座標をx2、波動関数をφ2とします。2つの粒子が十分に離れていて、それぞれを区別できる状況では、系全体の波動関数は、それぞれの波動関数の積ψ＝φ1(x1)φ2(x2)で表されます。
　この2個の粒子が、非常に近い範囲にいるような状況になると、2つの粒子を区別することはできなくなります。つまり、粒子1と粒子2を入れ替えた状態も可能な状態となります。したがって、系全体の波動関数は、粒子を入れ替えた状態も加えたものとなります。それらの混合の割合は１対1ですが、符号には任意性があり、プラスとマイナスの両方がありえます。すなわち、ψ＝(φ1(x1)φ2(x2)±φ2(x1)φ1(x2))/√2となります。
　プラスとマイナスのどちらをとるかは、粒子によって変わります。もし、2つの粒子が同じ状態（同じエネルギー、運動量、スピン）だとすると、φ1＝φ2ですから、ψ＝(φ1(x1)φ1(x2)±φ1(x1)φ1(x2))/√2となり、マイナスの場合はψはゼロになります。これは、同じ種類の2個の粒子は、同じ状態にはなりえないことを示しています。このような粒子は、フェルミ粒子と呼ばれます。
　もっと一般的には、同じ種類の粒子が多数あった場合、任意の2個の粒子を交換して、系全体の波動関数が対称であればボーズ統計に従うといい、反対称であれば、フェルミ統計に従うといいます。