0≦θ<2πのとき不等式を解く問題で、tanθに対する答えが2つの時と、3つの時があると思うのですが

0≦θ<2πのとき不等式を解く問題で、tanθに対する答えが2つの時と、3つの時があると思うのですが、どのような考え方の違いでそう求められるのか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/04/12 07:44

y=tanθ のグラフを見て考えるとわかると思います。

0≦θ<2πのとき、y=tanθ のグラフは、y=sinθ のグラフや y=cosθ のグラフと異なり、連続ではありません。
θ=π/2 と θ=3π/2 のところで不連続なので、0≦θ<2πの間で、3つの区間に分かれます。
( ① 0≦θ<π/2 , ② π/2<θ<3π/2 , ③ 3π/2<θ<2π )

よって、不等式を満たすところが３つの区間すべてにある場合は答えが3つになり、
不等式を満たすところが２つの区間だけにある場合は、答えが２つになります。

例えば、
tanθ>1 を解く場合、
tanθ=1 の解は、θ=π/4 , 5π/4 なので、①と②に入っていますが③には入っていません。
①の π/4<θ<π/2 , ②の 5π/4<θ<3π/2 で tanθ は1より大きくなりますが、 ③の区間では1より大き
くなるところはありません。答えは２つになります。

tanθ<1 を解く場合、
①の 0≦θ<π/4 , ②の π/2<θ<5π/4 で tanθ は1より小さくなり、 ③の区間 3π/2<θ<2π ではつねに1より小さいので、答えは３つになります。

1<tanθ<√3 の時は、答えは2つ。
-1<tanθ<1/2の時は、答えは３つ。
①、②、③の範囲で考えてみて下さい。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/04/12 13:00

「π」の代わりに「度」を採用してしまいましたが、適宜変換して読んでください

単位円の使い方を覚えるのも手です（すると、一々ルールを気にしてこういう場合は2個、こういう場合は3個などと暗記する必要がなくなります）
単位円を描き、円周上に点Pをとり、半径（動径）OPとx軸とのなす角度がθだとします
このとき、Pの座標が(cosθ、sinθ）となるのは良いですよね（＜注意！＞半径２や、√２の円を描いた場合はこのようにはなりませんから補正が必要です）
さて、tanθを考える場合は次のようにします
まず、x=1の位置に縦ラインを引きます
次に半径OPをｘ＝１の縦ラインに交わる位置まで延長します
この交点をQと命名すると　Qの座標が(1,tanθ）です
（留意点として、角度が90度～270°のときは半径OPのO側をx=1まで延長してください・・・この場合もQ(1,tanθ)です）

すると、θ=90や、270では　OPの延長がｘ＝１と平行で、どう頑張っても交点Qを作ることができないはずです
したがって、これらの角度ではtanθが存在しません（θ=90,270,・・・90+180nではtanθは定義されない)
ということで、90度や270°をまたぐ場合はこの角度を境界線として分割しなければならないことになります

これらを踏まえ　具体例
tanθ<√3なら
単位円を描いてtanを考える場合、
Qのｙ座標=tanθ=√3 を目安にするので(1,√3)の位置にQ'を書いて、
OQ'を結んで、円周との交点をP'とします
tanθ<√3なので、Qが(1,√3)の位置にあるときがQの上限で、Qはこの位置からｘ＝１のライン上を下方向へ自由に動いていくことができるという意味になります
Qの位置を図の中や、頭の中で実際にスライドさせて、そのときの半径OPとｘ軸の角度の変遷を見てあげるとそれが不等式の解となります

具体的には、(1,√3)の位置にQ'を描いて、このときの線分OQ'と円周の交点P'の位置を書き込む（「'」は(1.√3)の位置にあるときのP,Qと別の座標にあるときのP,Qを区別するためのもの）
ちなみにこのとき、∠xOP'=60度
Qを(1,0)まで真下へスライドさせたとき、これをQ"として図に書きこむ
OQ"と円周との交点P"を書き込む
OP"～OP'とｘ軸との角度を見て　不等式の解の一つは 0≦θ<60　と分かります

このとき、OP"とx軸のなす角度は0なのでQ"の位置をこれ以上スライドさせると、0≦θ<2π　からθが外れてきますから
これ以下へのスライドは、角度の区分を切り替えることになります

そのまえに、Q'やQ"を考えるときOQ'などをO側へ延長するケースも考えないといけません
このケースでは直線OQ'と円周の交点はP'と180度点対象な位置に来ますから、
180°をプラスした、0+180≦θ<60+180→180≦θ<240も解であることが分かります

さて、Q"以下へスライドする場合　tanθ<√3なので　Qは際限なく下方へスライド可能です
x＝１のライン上の途方もない低い位置にQ'''を書いて　この時の線分OQ'''と円周の交点P'''を書き込みます（実際には図にできないと思いますので、Q'''の位置がどこまでも低くなる場合を想像してみてください）
するとOQ'''は徐々にy軸に接近し、限りなくy軸と重なる位置までは来るが、決してy軸とぴったり重なることはないことが分かります
このとき半径OP'''はｘ軸から反時計回りに測って270°をわずかに超えた角度であることが分かります
ゆえに、OP'''～OP''の角度を見て　不等式の解は　270<θ<360と分かります（θはｘ軸の＋方向から反時計回りに測るので、OP"はｘ軸と360°の角度をなしているとみなします）

先ほど同様、OQ’’やOQ'''をO側へ延長したバージョンも考えなければならないで
こちらは、180度点対象
270-180<θ<360-180→90<θ<180も解と分かります

以上を合わせて、tanθ<√3の解は
0≦θ<60,90<θ<240、270<θ<360（・・・90<θ<180と180≦θ<240　は統合できて90<θ<240）と分かるのです

繰り返しになりますが、どういう場合に解が２こ、３ことか暗記するのではなくて、
単位円を使った解法をマスターして、スムーズに解を求めることをマスターしてくださいませ（説明は長いですが、要領さえつかめばやることは単純です）

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/04/12 11:45

0≦θ<2πのとき「等式」を解く問題だったら答は「２つ」ですね。

つまり、不等式に「上限」「下限」がある場合には、「=上限」「=下限」の等式に対する解は「４個」存在します。

これらと「0≦θ<2π」とによって範囲を示すとなると、一体いくつに分かれるのか、その都度考えないといけませんね。
ふつうに「その都度、適切な範囲を見極める」ことでできるし、そうするしかないと思います。
単位円で考えるより、この場合には
　y = tanθ
のグラフで考えた方が分かりやすいのでしょうね。