二重積分∫∫D xy dxdy D={(x,y)} : x=>0 , y=>0 , √x+√y<=1

二重積分∫∫D xy dxdy
D={(x,y)} : x=>0 , y=>0 , √x+√y<=1}
を解いてください。

質問者からの補足コメント

• xの積分範囲を0→(1-√y)^2にして計算した結果、1/280になったのですが、あっていますでしょうか？

    補足日時：2020/10/12 23:20

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/10/12 23:45

D={(x,y)} : x=>0 , y=>0 , √x+√y<=1}より、

0≦x≦(1-√y)^2, 0≦y≦1

∫∫D xy dxdy
=∫[0, 1]∫[0, (1-√y)^2] xy dy
=∫[0, 1] (x^2/2)y[0, (1-√y)^2] dy
=(1/2)∫[0, 1] y(1-√y)^4 dy

t=√yとすると、積分区間は変わらない。
t^2=y
dy/dt=2t

=(1/2)∫[0, 1] (t^2)(1-t)^4 2t dt
=∫[0, 1] (t^3)(1-t)^4 dt
=(t^4/4)(1-t)^4[0, 1] + ∫[0, 1] t^4(1-t)^3 dt
=∫[0, 1] t^4(1-t)^3 dt
=(t^5/5)(1-t)^3[0, 1] + (3/5)∫[0, 1] t^5(1-t)^2 dt
=(3/5)∫[0, 1] t^5(1-t)^2 dt
=(3/5)(t^6/6)(1-t)^2[0, 1] + (3/5)(2/6)∫[0, 1] t^6(1-t) dt
=(1/5)∫[0, 1] t^6(1-t) dt
=(1/5)(t^7/7 - t^8/8)[0, 1]
=(1/5)(1/7 - 1/8)
=(1/5)(1/56)
=1/280

となったので、合っているね。