この重積分の問題が分かりません。 次の重積分を求めよ。 I= ∬ √(9a^2-x^2-y^2/4)

この重積分の問題が分かりません。

次の重積分を求めよ。
I= ∬ √(9a^2-x^2-y^2/4)dxdyを求めよ。ただし積分範囲はx^2+y^2/4 ≦ a^2でありx,yは実数、aは正の実数である。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/14 15:33

変数変換

　x=rcosθ、y=2rsinθ　(0≦r≦a, 0≦θ≦2π)
　J=cosθ2rcosθ-(-rsinθ)2sinθ=2r

　I=∫[0,2π]dθ ∫[0,a] (2r)dr √(9a²-r²)
　　=4π∫[0,a] r√(9a²-r²) dr (u=√(9a²-r²) と変換, udu=-rdr)
　　=4π∫[3a,(√8)a] u(-udu)
　　=4π[u³/3][3a,(√8)a]
　　=(4π/3)(27a³-8(√8)a³)=(4π/3)a³(27-16√2)

この回答へのお礼

理解できました！ありがとうございます！

お礼日時：2022/08/14 17:34