積分の問題なのですが、途中からどうやって進めばいいかわからなくなりました

添付した画像の問題なのですが、ここからどうすればいいかわかりません。
特にx/x+2の部分をどのように積分していけば良いか教えていただきたいです

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/25 21:39

(x+2)'=1

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/03/25 10:56

(f・g)'=f' g+f g' f・g =∫f' g dx +∫f g' dx

∫f' g dx = f・g - ∫f g' dx f'=1 g= log(x+2) f=x g'=1/(x+2)

与式=x log(x+2) - ∫x {1/(x+2)}dx
x+2=t ∴x=t-2 　dx=dt より
　　=xlog(x+2) - ∫(t-2)/t dt
=xlog(x+2) - ∫{1－2/t }dt
=xlog(x+2) - t +2 log t
=xlog(x+2) - (x+2) +2 log(x+2) +C'
=(x+2) log(x+2) -x + C ただし C=C'-2

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2024/03/24 22:38

分数関数の積分では部分分数分解が常套手段です。

すなわち元の分数関数を分母の次数より分子の次数が低い分数関数に分解するわけです。例えば

f(x)

=(rx+s)/(x+p)(x+q)

と言う関数であれば、未知の定数aとbを使って

f(x)

=a/(x+p)+b/(x+q)

と置いてから係数の比較でaとbの値を決定するわけです。この形になってしまえば積分が容易である事はお分かりでしょう。質問文の問題のように分母も分子もxの一次式である場合は同様に

a+b/(x+2)

と置いてからaとbを決定します。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/24 21:52

x/(x+2)=1-2/(x+2)

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/24 21:16

ひょっとして 1 の原始関数は x のみだと思い込んでる?

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/24 19:14

ｘ・1/(x+2) = 1 - 2/(x+2) でしょ。

右辺なら積分できると思います。