微分積分の二重積分についての問題がわからないです

微分積分についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。
D={(x,y) | x>=0, y>=0,x+y<=1}を図示して重積分∬(D) e^(x+y) dx dyを求めてください

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/08/08 17:25

∫[0,1] dx ∫[0,1-x] dy e^(x+y)

=∫[0,1] dx e^x ∫[0,1-x] dy e^y
=∫[0,1] dx e^x [e^y] [1-x,0]
=∫[0,1] dx e^x [e^(1-x)-1]
=∫[0,1] dx (e-e^x)

=[e x-e^x][1,0]=e-e-(0-e^0)=1

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/08/08 20:04

D は、 x の範囲が 0 ≦ x ≦ 1-y、

　　　そのような x が存在する y の範囲が 0 ≦ y ≦ 1 ですね。
すると、重積分を反復積分に変形するとき、
∬[D] e^(x+y) dx dy = ∫[0≦y≦1] ∫[0≦x≦1-y] e^(x+y) dx dy となります。

計算は、高校のときとほぼ同じように
∫[0≦y≦1] ∫[0≦x≦1-y] e^(x+y) dx dy
= ∫[0≦y≦1]{ e^((1-y)+y) - e^(0+y) }dy
= ∫[0≦y≦1]{ e - e^y }dy
= { e・1 - e・0 } - { e^1 - e^0 }
= { e - 0 } - { e - 1 }
= 1.