数学Ⅲの積分の問題！どう置換したらよいのか

画像の積分です。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/12 18:07

あ、No.1 の部分積分の間違ってんじゃん。

余計なことしなきゃよかった。
最初から y = x - ab/x で置換しよう。

0 = x^2 - yx - ab より、
x = (1/2){ y + √(y^2 + 4ab) },
dx/dy = (1/2){ 1 + y/√(y^2 + 4ab) }.

これを使って、
S = ∫[a,b] cos(x - ab/x) dx
　= ∫[a-b,b-a] (cos y)(1/2){ 1 +　y/√(y^2 + 4ab) }dy
　= (1/2){ ∫[a-b,b-a] (cos y) dy + ∫[a-b,b-a] (cos y)y/√(y^2 + 4ab) dy }
　= (1/2){ 2∫[0,b-a] (cos y) dy + 0 }
　= ∫[0,b-a] (cos y) dy
　= sin(b-a) - 0.

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/12 13:09

ぱっと見の印象どおり、y = x - ab/x で置換すればいいのだが、

その前に部分積分してから置換すると計算しやすい。

S = ∫[a,b] 1 cos(x - ab/x) dx
　= [ x cos(x - ab/x) ]_a,b - ∫[a,b] x (-sin(x - ab/x)) (1 + ab/x^2) dx
　= { b cos(b-a) - a cos(a-b) } + ∫[a,b] sin(x - ab/x) (x + ab/x) dx
　= (b-a) cos(b-a) + ∫[a-b,b-a] (sin y) √(y^2 + 4ab) dy.

(sin y) √(y^2 + 4ab) は奇関数なので、
S = (b-a) cos(b-a) + 0.

この回答へのお礼

なるほど。先に部分積分をして、それから置換。勉強になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2023/12/12 15:47