積分の問題について

積分の問題について質問です。
画像のような積分を計算しなさい。但し，積分記号下の |z−a|=r は， a を中心とする半径 r の円に正の向きがつけられた閉曲線とする。
と言う問題で、
上の問題がI=0
下の問題がI=2π*i*(2/9)=(4π*i)/9
となったのですが合っていますか？
間違っていれば解説お願いします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/01 22:21

＞ 円に正の向きがつけられた閉曲線

というのがどういう向きなのかによって違ってきますが、
たぶん合っています。

上の問題は、積分路の内部 |z-i|<1 に
被積分関数が特異点を持たないので、
コーシーの積分定理により
閉路積分の値は 0 です。

下の問題は、積分路の内部 |z+1|<2 に
被積分関数が 1個の特異点 z=-1/3 を持ち、
z=-1/3 の位数が 1で、
そこでの留数が 2/9 なので、
留数定理により
閉路積分の値は (2πi)(2/9) です。