積分の問題について

積分の問題について質問です。
次の積分を計算しなさい。積分記号下の |z − a| = r は，a を中心とする半径 r
の円に正の向きがつけられた閉曲線と約束する。
と言う問題で
(1)0
(2)2πi
(3)2πi
となったのですが合っていますか？
間違っていれば解説お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/07 12:53

(1) あってる。

被積分関数の極は z = 0, 1 で、
どちらも | z-2i | < 1 に含まれないから。

(2) あってる。
被積分関数の極は z = 0, 1 で、
| z-2 | < 3/2 に含まれるのは 1 だけ。

(z-1){ (4-3z)/(z^2-z) } = (4-3z)/z が z = 1 で正則だから
z = 1 は (4-3z)/(z^2-z) の 1 位の極と判る。
その留数は lim[z→1] (d/dz)^0 (z-1){ (4-3z)/(z^2-z) }
= (4-3・1)/1 = 1 なので、留数定理より
問題の積分は = (2πi)1 = 2πi.

(3)
被積分関数の極は z = -1, 5 で、
その両方が | z-2 | < 4 に含まれる。

(z+1){ (z-23)/(z^2-4z-5) } = (z-23)/(z-5) が z = -1 で正則だから
z = -1 は (z-23)/(z^2-4z-5) の 1 位の極で、
その留数は lim[z→-1] (d/dz)^0 (z+1){ (z-23)/(z^2-4z-5) }
= (-1-23)/(-1-5) = 4.

(z-5){ (z-23)/(z^2-4z-5) } = (z-23)/(z+1) が z = 5 で正則だから
z = 5 は (z-23)/(z^2-4z-5) の 1 位の極で、
その留数は lim[z→5] (d/dz)^0 (z-5){ (z-23)/(z^2-4z-5) }
= (5-23)/(5+1) = -3.

留数定理より、問題の積分は = (2πi){ 4 + (-3) } = 2πi.