次の積分を計算しなさい.積分記号下の |z − a| = r は，a を中心とする半径 r の円に正

次の積分を計算しなさい.積分記号下の |z − a| = r は，a を中心とする半径 r の円に正の向きがつけられた閉曲線である
∫|z|=π/2 (e^z+z)/z^3-z dz
という問題が分かりません。
解説もして頂けるとありがたいです。よろしくお願いします。
早急によろしくお願いします！！

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/12 20:00

その質問の式を見れば、普通は No.1 さんのように読むでしょうね。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13040819.html とともに
前回投稿された質問のときは
∫[ |z|=π/2 ] (e^z + z)/(z^3-z) dz だったような気がします。
こちらの計算もしておこうかな。

∫[ |z|=π/2 ] (e^z + z)/(z^3-z) dz
= ∫[ |z|=π/2 ] (e^z + z)/(z(z+1)(z-1)) dz
= ∫[ |z|=π/2 ] (e^z + z){ -1/z + (1/2)/(z + 1) + (1/2)/(z - 1) }dz
= - ∫[ |z|=π/2 ]{ (e^z + z)/z }dz + (1/2)∫[ |z|=π/2 ]{ (e^z + z)/(z + 1) }dz + (1/2)∫[ |z|=π/2 ]{ (e^z + z)/(z - 1) }dz
= - (2πi)(e^0 + 0) + (1/2)(2πi)(e^-1 - 1) + (1/2)(2πi)(e^1 + 1)
= (2πi){ - 1 + (1/2)(1/e + e) }
= (πi)(- 2 + 1/e + e).

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/12 15:45

∫_{|z|=π/2}({(e^z+z)/z^3}-z)dz

=∫_{|z|=π/2}{(e^z)/z^3+(1/z^2)-z}dz
=∫_{|z|=π/2}{(e^z)/z^3}dz+∫_{|z|=π/2}(1/z^2)dz-∫_{|z|=π/2}(z)dz
=∫_{|z|=π/2}{(e^z)/z^3}dz
=2πilim_{z→0}(d/dz)^2(e^z)
=2πi