大学数学の重積分の問題です。 ∫∫D √(x^2+y) dxdy D=｛(x,y)|x^2≦y<4-

大学数学の重積分の問題です。

∫∫D √(x^2+y) dxdy D=｛(x,y)|x^2≦y<4-x^2｝

どなたか教えて欲しいです！

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/05 14:45

x²=4-x² → x=±√2

したがって、積分範囲は x=-√2～+√2 , y=x²～(4-x²)
Dはy軸対象だから、x=0～+√2の積分を2倍すればよい。

　2∫[0,√2]dx∫[x²,4-x²] √(x²+y) dy
　=2∫[0,√2]dx [(2/3)(x²+y)³/²][(4-x²),x²]
　=(4/3)∫[0,√2]dx {4³/²-(2x²)³/²}
　=(4/3)∫[0,√2]dx {8-(2√2)x³}

　=(4/3) [8x-(2√2)(1/4)x⁴][√2,0]
　=(4/3) [8√2-(2√2)(1/4)4]
　=(4/3) 6√2=8√2