コンパクト空間 集合S上の離散距離空間(S,d*)の無限部分集合は有界閉集合だがコンパクトではないこ

コンパクト空間

集合S上の離散距離空間(S,d*)の無限部分集合は有界閉集合だがコンパクトではないことを証明してほしいです。
「コンパクト ⇒ 有界閉集合」は成立し、逆は言えない(反例が上記)という概念はわかるのですが、どうやれば「有界閉集合 ⇒ コンパクト」が成り立たないのかを証明できるのかがわかりません。背理法などを使うのでしょうか…?詳しくわかる方よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/01/02 10:48

読み違えました

Sはコンパクトでないのですね

∞集合S上の距離d*を
x,y∈Sに対して
x≠yの時d*(x,y)=1
d*(x,x)=0
と定義すると
(S,d*)は離散距離空間になる

(S,d*)の∞部分集合を
Aとすると
d*(A)=1
だから
Aは有界
Sは離散空間だから
Aは閉
だから
Aは有界閉集合

A=∪_{x∈A}{x}
だから
{{x}}_{x∈A}はAの開被覆だけれども

Aは∞集合だから、
有限個の{x_k}_{k=1～n,x_k∈A}
で覆う事ができないから

Aはコンパクトでない

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます！

お礼日時：2021/01/03 01:52

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/01/02 06:20

位相空間Sがコンパクトならば

Sの任意の閉集合Mもコンパクトである
から
「(コンパクトSの∞部分)有界閉集合→コンパクト」は成り立ちます

ただし
「(コンパクトSの∞部分)有界集合→コンパクト」は成り立ちません

N=(全自然数の集合)
R=(全実数の集合)
T={1/n;n∈N}⊂R
S=T∪{0}⊂R
とすると
Sはコンパクトだけれども

Tは有界だけれども閉でないからコンパクトでない