整数を実数、非整数を複素数に対応させたら？

タイトルのらと？の間にに屁理屈を加えることになりそうですが、関数をグラフ化する場合、時々表記のような疑問が湧くことがあります。これは又離散と連続をつなぐようなことにも関係があるかなと愚考する次第ですが、如何でしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： SIRAKI 回答日時： 2005/02/12 11:41

こんにちは、まだありました。

#2よりやさしいと思います。
それは、相当性(一意性の条件)についてです。
これは、
1. 任意のa:実数に対して、
aの整数部分と小数部分が一意に決まるという内容です。
2. また、任意のz:複素数に対して、
zの実数部分と虚数部分が一意に決まるということも成り立ちます。

証明は省略させて下さい。暇があれば証明も載せたいと思います。

ご質問の趣旨にあった回答になっているかどうか分かりませんが、とりあえず回答しました。

この回答へのお礼

No2に重ねて改めてお礼申し上げます。ありがとうございました。

お礼日時：2005/02/12 12:45

No.2 回答者： SIRAKI 回答日時： 2005/02/11 09:27

整数(=:Z)を有理数(=:Q)

実数(=:R)を複素数(=:C)に拡張する考え方として、
方程式の解の存在を仮定していく考え方があります。
そのような観点で、(Z,Q)と(R,C) or (Z,R)と(Q,C)の夫々の関係には、アナロジーがあると思います。
この考えをモロに抽象化させた理論に代数学がありますが、
その中でも、(詳しくは覚えていませんが(笑))体論の代数的閉包とか、代数的閉体と言った概念がとくに関係あると思います。

「離散→連続」というか、「素朴→きちんとした体系」 というか 「具体→抽象」にしようとした場合、このような考え方もあると思います。他にも、色々な考え方があるかもしれません。
お互い頑張りましょう。

この回答へのお礼

私には難しすぎるご教示ですが、お礼申し上げます。また私の足元に視線を落としていただいたお心遣いを感謝いたします。出来る限り勉強を続けたいと思います。

お礼日時：2005/02/11 09:37

No.1 回答者： shkwta 回答日時： 2005/02/11 07:05

※この文は厳密な証明等ではないとして読んでください。

おそらく、(a)何らかの写像（関数）によって実数を整数に対応させる。(b)そして、もう一つの実数を何らかの写像により実数の小数部分に対応させ、虚数部分を表わす。すると、「複素数を１つの実数で表現できる」という考えだと思います。
後者(b)は容易です。たとえば、-0.5＜t＜0.5となるtを適切に選べば、任意の実数rを r=t/(1-4*t^2) で表わせます。

さて、前者(a)ですが、残念ながらできないことが証明されています。つまり、「実数と整数を１対１に対応させると、実数のほうが余る」ということです。証明法として、対角線論法があります。このような、無限集合間におこる対応関係の格差は、濃度と呼ばれています。つぎのページは簡単な説明です。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/020 …
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/16lebeg/apd …

ところで、１つの実数で複素数を表わすことは可能です。たとえば、
0.29413530399813…
の数字を交互にとって
0.2433391…
0.9150983…
とすれば、１つの実数で２つの実数をあらわせます。
「実数と複素数は同じ濃度なので、１対１に対応させる写像が存在する」ということです。

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございました。勉強させてください。

お礼日時：2005/02/11 09:30