数列｛ａｎ｝の初項から第n項までの和Sn=－2an＋2^n＋1を満たす一般項の求め方(証明).解答教

数列｛ａｎ｝の初項から第n項までの和Sn=－2an＋2^n＋1を満たす一般項の求め方(証明).解答教えてほしいです

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/02/13 18:50

S[n]=-2a[n] + 2^n + 1

S[n-1]=-2a[n-1] + 2^(n-1) + 1

S[n]-S[n-1]=a[n]となるため、
-2a[n] + 2^n + 1 - (-2a[n-1] + 2^(n-1) + 1)=a[n]
3a[n]=2a[n-1] + 2^n - 2^(n-1)
3a[n]=2a[n-1] + (2-1)×2^(n-1)
3a[n]=2a[n-1] + 2^(n-1)
a[n]=(2/3)a[n-1] + (1/3)2^(n-1)

漸化式なので、a[n+1]=(2/3)a[n] + (1/3)2^nが成り立つ。
両辺を2^nで割ると、

a[n+1]/2^n=(2/3)a[n]/2^n + (1/3)
a[n+1]/2^n=(2/3)a[n]/(2×2^(n-1)) + (1/3)
a[n+1]/2^n=(1/3)a[n]/2^(n-1) + (1/3)

b[n]=a[n]/2^(n-1)とすると、

b[n+1]=(1/3)b[n] + 1/3

特性方程式は、
b=(1/3)b+1/3
(2/3)b=1/3
b=1/2

b[n+1] - 1/2=(1/3)(b[n] - 1/2)
b[n]=(b[1] - 1/2)(1/3)^(n-1)
a[n]/2^(n-1)=(a[1]/2^0 - 1/2)(1/3)^(n-1)
a[n]/2^(n-1)=(a[1] - 1/2)(1/3)^(n-1)
a[n]=(a[1] - 1/2)(2/3)^(n-1)

初項が分からないので、これ以上は進められない。

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます

お礼日時：2021/02/14 22:32

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/13 19:16

初項は、a1 = S1 = - 2 a1 + 2^1 + 1 から判る。

a1 = (2^1 + 1)/(1 + 2) = 1.

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます

お礼日時：2021/02/14 22:32