ある方から以下の様に言われました。 「質問文では { 1, cos(nx), sin(nx) } と

ある方から以下の様に言われました。 「質問文では { 1, cos(nx), sin(nx) } と書いてるけれど、フーリエ変換の式を見れば 実は { 1/2, cos(nx), sin(nx) } が基底に使われている。 ベクトル空間の話としては、正規直交基底のほうがスッキリしているわけで、 それなら { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) } のほうが好ましいのだが、 当面の計算の手間を優先して、非正規直交基底を使っているらしい。」 出来れば、 { 1/2, cos(nx), sin(nx) } と { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) } がどうやって導かれたのかを教えて頂けないでしょうか。

質問者からの補足コメント

• f・g = (1/π)∫{-π～π} f(x) g(x) dx
  と決めれば
  　　{ 1/√2, cos(nx), sin(nx) }
  が正規直交基底になる。
  　　f・g = ∫{-π～π} f(x) g(x) dx
  と決めれば
  　　{ 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }
  では、{ 1, cos(nx), sin(nx) }と出るf・gの式はどのような式でしょうか？
  
  また、　正規直交基底とした時にf・g = 0 (f≠g) …(1)となるのはわかるのですが、
  　　 f・f = 1 …(2)はどんな時の式なのでしょうか。

    補足日時：2021/08/15 23:48

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/08/16 00:26

No.2へのコメントについて。

　「確認してくださいな」と書いたのに、やってないのかな。

>要は{ 1, cos(nx), sin(nx) }
>{ 1/2, cos(nx), sin(nx) }
>{ 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }
>のいずれを使っても良いと言う事でしょうか。

　なーんだ、それがホントの質問なのかー。（そんなんだったら回答しないところだが。）で、No.2ではまだ難しすぎるのかしらん？

> では、{ 1, cos(nx), sin(nx) }と出るf・gの式はどのような式でしょうか？

　No.2では（モロには書かねども、結局）「それは変だよね。単に、言ってる奴がわかってないだけなんじゃ？」という意味の回答をしている。（しかし、No.3によれば何でもアリにできるんだそうです。）

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/15 14:13

内積を定数倍とかケチ臭いこと言ってないで、

何か適当な関数 K(x,y) を持ってきて
( f, g ) = ∬ K(x,y) f(x) g(y) dxdy で定義すれば、
けっこう何でもアリにﾅﾗﾈ？

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/08/15 09:03

正規直交基底ってのは、内積 ・ をどう定義するかによって自動的に決まります。

関数の列{...., f, g, ....}を与えれば、これを基底とする関数空間も決まる。で、この列が
　　f・g = 0 (f≠g) …(1)
　　 f・f = 1 …(2)
の両方を満たすと、それは正規直交基底。（(1)だけだと直交基底）

　さて、ご質問はフーリエ級数展開の話で、周期2πの関数についてだけ考えています。このとき：

内積を
　　f・g = (1/π)∫{-π～π} f(x) g(x) dx
と決めれば
　　{ 1/√2, cos(nx), sin(nx) }
が正規直交基底になる。(1)(2)を確認してくださいな。
　また
　　f・g = ∫{-π～π} f(x) g(x) dx
と決めれば
　　{ 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }
が正規直交基底になる。
一般に、内積を定数倍にすれば、正規直交基底の方も単にその平方根倍になるだけですね。

　さて、フーリエ級数に出てくる{ 1/2, cos(nx), sin(nx) }の1/2ってのは何なのか。この話は、複素フーリエ級数を考えるとスッキリするんです。

　複素数値を取る周期関数f: [-π,π)→C について、
　内積を
　　f・g = (1/π)∫{-π～π} f(x) g*(x) dx
と決めます。ただしg*はgの複素共役です。すると、正規直交基底はnが負の場合も含めて
　　{ e^(i n x) } （n∈整数）
となる。これを使った複素フーリエ級数展開は
　　c[n] = f・e^(i n x) = ∫{-π～π} f(x) e^(-i n x) dx
　　　　= ∫{-π～π} f(x) cos(n x) dx - i∫{-π～π} f(x) sin(n x) dx
　　f(x) ≈ Σ{n=-∞～∞} c[n](e^(i n x))
です。c[n]の実部と虚部をそれぞれp[n], -q[n]
　　c[n] = p[n] - i q[n] (p[n]∈R, q[n]∈R)
と書くと
　　f(x) ≈ Σ{n=-∞～∞} (p[n] - i q[n]) (cos(nx) + i sin(nx))
　　= Σ{n=-∞～∞}( (p[n]cos(nx) + q[n]sin(nx)) + i (p[n]sin(nx) - q[n]cos(nx)) )

さて、fが実数値を取る関数の場合に複素フーリエ級数展開を適用すると（虚数成分がないから）
　　f(x) ≈ Σ{n=-∞～∞} p[n]cos(nx) + Σ{n=-∞～∞} q[n]sin(nx)
である。しかも
　　p[n] = (1/π)∫{-π～π} f(x) cos(n x) dx
　　q[n] = (1/π)∫{-π～π} f(x) sin(n x) dx
　　p[-n] = p[n]
　　q[-n] = -q[n]
　　q[0] = 0
なのでn≠0の場合には
　　p[n]cos(nx) + p[-n]cos(-nx) = 2p[n]cos(nx)
　　q[n]sin(nx) - q[n]sin(-nx) = 2q[n]sin(nx)
とそれぞれまとめられて
　　f(x) ≈ p[0] + 2Σ{n=1～∞} p[n]cos(nx) + 2Σ{n=1～∞} q[n] sin(nx)
となる。そこで、n≧0について
　　a[n] = 2p[n]
　　b[n] = 2q[n]
としたのが、ご質問に添付なさった画像の式です。「1/2が出てきたのは、n=0の時だけ[n]と[-n]がまとめられないからだ」というわけ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
要は{ 1, cos(nx), sin(nx) }
{ 1/2, cos(nx), sin(nx) }
{ 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) }
のいずれを使っても良いと言う事でしょうか。

お礼日時：2021/08/15 23:37

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2021/08/15 07:10

どこで躓きましたか？

この回答へのお礼

フーリエ級数展開から { 1/2, cos(nx), sin(nx) } と { 1/√(2π), (1/√π)cos(nx), (1/√π)sin(nx) } を導く時です。

お礼日時：2021/08/15 07:27