データの分析と標準偏差

標準偏差の問題を教えてください。
「20 人のクラスで数学のテストを行ったところ，得点の平均値はx，標準偏差は sx
であった。また，出席番号が k (k = 1，2，…，20) の生徒の得点は xk であった。
ところが，採点後，問題に不備があることがわかった。ただし，不備のあった問題の
配点は 20 点であり，この問題を正解した生徒は一人もいなかったものとする。よく調べたところ，
問題不備の影響を受けたのは出席番号 1 の生徒のみだったので，出席番号 1 の生徒だけ 20 点加点することにした。出席番号 1 の生徒の，得点訂正前の得点について
　　　x1= x^－
であるとき，得点訂正後の標準偏差 sz を表すとどうなりますか？」

No.5 回答者： qas2021 回答日時： 2022/03/26 21:33

余計なことですが。

選択問題で、その不備のある問題を選択したのが出席番号1の生徒だけだったのであれば、「問題不備の影響を受けたのは出席番号 1 の生徒のみだった」というのはあり得ますね。
それ以外だとどういう解釈が考えられますかね。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/25 22:14

問題不備の対処法はいろいろあると思うけれど、

普通に行われるのは、全員正解扱いにするということ。それだと、
「この問題を正解した生徒は一人もいなかった」ならば
全員が得点に20点づつ加点されることになり、
「問題不備の影響を受けたのは出席番号 1 の生徒のみだった」
という記述と整合しない。
どういう得点訂正が行われたのか？

その辺の質問不備は脇に置いて、ともかく
20人中で得点が平均点と同じだった1人だけが 20点加点された
という状況を考えたいのならば、訂正後の分散は
(sz’)^2 = (1/20)Σ[i=1..20](x’i)^2 - { (1/20)Σ[i=1..20]x’i }^2
= (1/20){ (x’1)^2 + Σ[i=2..20](x’i)^2 } - { (1/20){ x’1 + Σ[i=2..20]x’i } }^2
= (1/20){ (x1 + 20)^2 + Σ[i=2..20](xi)^2 } - { (1/20){ (x1+20) + Σ[i=2..20]xi } }^2
= (1/20){ 40x1 + 400 + Σ[i=1..20](xi)^2 } - { (1/20){ 20 + Σ[i=1..20]xi } }^2
= 2x1 + 20 + (1/20)Σ[i=1..20](xi)^2 } - { 1 + (1/20)Σ[i=1..20]xi + { (1/20)Σ[i=1..20]xi }^2 }
= 2x1 + 19 - (1/20)Σ[i=1..20]xi + (1/20)Σ[i=1..20](xi)^2 - { (1/20)Σ[i=1..20]xi }^2
= 2x1 + 19 - x^- + sz^2
= 19 + x^- + sz^2.
よって、
sz’ = √(sz^2 + x^- + 19).

No.3 回答者： yucco_chan 回答日時： 2022/03/25 18:45

この問題が間違っている。

問題不備の影響を受けたのは全員。
一人だけと判断した事が間違い。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/03/25 14:39

＞配点は 20 点であり，この問題を正解した生徒は一人もいなかった

ということと

＞問題不備の影響を受けたのは出席番号 1 の生徒のみだった

の関係がよく分かりません。

「実は、出席番号 1 の生徒は正解していた」ということ？
「問題に不備があった」のに、そんなことが言えるのですか？
「採点のしかたを間違えて」ということなら分かるけど。

「採点のしかたを間違えて全員不正解にしたが、実は出席番号 1 の生徒は正解だった」ということと考えてよいのかな？
要するに、「出席番号１の生徒に採点ミスがあり、得点が +20点になった」と単純に解釈します。

だとすれば、生徒全体の「合計点」が20点高くなるので、平均点が１点上昇します。

＞出席番号 1 の生徒の，得点訂正前の得点について
　　　x1= x^－
であるとき

この右辺は何？　よく分からんので左辺の「x1」で書きます。

そうすれば、得点修正前の分散は
　sx^2 = (1/20){(x1 - x)^2 + (x2 - x)^2 + ･･･ + (x20 - x)^2}
ということです。

これに対して、得点修正後の分散は
　sz^2 = (1/20){[(x1 + 20) - (x + 1)]^2 + [x2 - (x + 1)]^2 + ･･･ + [x20 - (x + 1)]^2}
ということになります。

これをまともに計算しても出るかもしれませんが、ここでは「分散」の求め方としてよく使う公式
　s^2 = E[X^2] - {E[X]}^2
を使うのがよいでしょう。
（この公式は、教科書に載っていますから、必要であればその導出方法を復習してください）

つまり、得点修正前には
　sx^2 = E[X^2] - x^2　　　　①
ということです。
これが得点修正後は、上に書いたように
　sz^2 = E[X'^2] - (x + 1)^2　　　②
になるわけです。

ここで、X は x1 が変わるだけなので
　E[X'^2] = (1/20){(x1 + 20)^2 + x2^2 + x3^2 + ･･･ + x20^2}
　　　　　= (1/20){40x1 + 400 + x1^2 + x2^2 + x3^2 + ･･･ + x20^2}
　　　　　= (1/20){40x1 + 400} + (1/20){x1^2 + x2^2 + x3^2 + ･･･ + x20^2}
　　　　　= 2x1 + 20 + E[X^2]
ここに①を使えば
　E[X'^2] = 2x1 + 20 + sx^2 + x^2

これを②に代入すれば
　sz^2 = 2x1 + 20 + sx^2 + x^2 - (x + 1)^2
　　　　= 2x1 + 20 + sx^2 + x^2 - (x^2 + 2x + 1)
　　　　= 2x1 + sx^2 - 2x + 19

よって、標準偏差は
　sz = √(2x1 + sx^2 - 2x + 19)

No.1 回答者： seiji91 回答日時： 2022/03/25 13:15

問題に不備があるのに、不備の影響を受けた生徒が一人だけという理由がはっきりしない限り答えられない。