この問題で(t^2-1)^3の積分を1/2t x 1/4 x (t^2-1)^3という風にはできない

この問題で(t^2-1)^3の積分を1/2t x 1/4 x (t^2-1)^3という風にはできないんですか？

質問者からの補足コメント

• すみません3畳じゃうなくて4畳ですね

    補足日時：2022/05/20 10:59

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2022/05/20 09:13

質問の本題からは外れますが気になった事を一つだけ。

質問文にある1/2tと言うのは恐らく「1/2にtをかけたもの」と言う意味でしょうが、そうであるならば(1/2)tと言う具合に括弧を使うべきです。質問文の書き方だと「2t分の1」と言う意味になります。

分数やルートを含む数等を1行で書く場合、普通の書き方では必要のない括弧を書く必要が出て来る場合があるので注意するべきです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/20 09:23

どのように考えられたのか分かりませんが、そのような積分はできません

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2022/05/20 09:25

そのように出来ますが、単純な間違いがあります。

1/2t x 1/4 x (t^2-1)^3は1/2t x 1/4 x (t^2-1)^４です。
ｔ⁶ー3t⁴＋３t²＋１はｔ⁶ー3t⁴＋３t²ー１で
答えは　194/35です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
ただノートにある答えは間違いなく合ってます

お礼日時：2022/05/20 10:00

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/20 09:25

＞1/2t x 1/4 x (t^2-1)^3という風にはできないんですか？

それはどういう操作でそうなるのですか？

t^2 - 1 = u　　　　　①
とおいて
　(t^2 - 1)^3 = u^3
　du = 2tdt
ですが、
　dt = [1/(2t)]du
として
　∫[(t^2 - 1)^3]dt = ∫u^3･[1/(2t)]du　　　　②
→　[1/(2t)]∫u^3･du　　　　　　　　　　　③
　= [1/(2t)](1/4)u^4
　= [1/(2t)](1/4)(t^2 - 1)^4
みたいなことを考えていますか？

①とおいたように、u は t の関数ですから、
②→③
のように勝手に変数 t を含む [1/(2t)] を定数のように積分の外に移すことはできません。
[1/(2t)] も被積分関数の一部ですから。

(t^2 - 1)^3 の積分は、単純に「t の多項式の積分」ですから、「多項式」に展開してそのまま積分すればよいです。

この回答へのお礼

∮(x^2-1)^3dx と何が違うでしょうか？
置換しても積分範囲等はtに合わせているので

お礼日時：2022/05/20 13:06

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/20 11:15

まあ、貴方が出来るかなと思ったやり方ででた積分結果を再度微分してみて、積分前の形に戻らないなら

そのような積分方法は誤りと言うことですね…

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2022/05/20 11:54

間違いがありました。

訂正いたします。
誤：答えは　194/35です。
正：答えは　388/35です。

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/20 14:09

No.4 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞∮(x^2-1)^3dx と何が違うでしょうか？
置換しても積分範囲等はtに合わせているので

∫[(t^2 - 1)^3]dt と ∫[(x^2 - 1)^3]dx は、変数の記号を変えただけで同じですよ。

これを
　x^2 - 1 = u
とおけば、#4 に書いたものと同じになります。

このときに、
　dx = du
にはならないことに注意です。