∂u/∂x - ∂u/∂y - u = 2x + y の解法を示して頂きたいです。出来ればシャルピー

∂u/∂x - ∂u/∂y - u = 2x + y の解法を示して頂きたいです。出来ればシャルピーの解法を用いて解いていただけると助かります。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/28 18:25

#1さんのように特殊解を求めると

　u=-2x-y-1
となる。ここで
　u=v+(-2x-y-1)
とすれば、元の式は
　∂v/∂x - ∂v/∂y - v =0・・・・・①
つまり、ラグランジュの微分方程式だから、補助方程式は
　dx/1=dy/-1=dv/v
となる。

まず
　dx/1=dy/-1 → d(x+y)=0 → x+y=c₁
つぎに
　dx/1=dv/v → d(log|v|-x)=0 → log|v|-x=c
→ |v|=e^(x+c)=(e^c)e^x
→ v=c₂e^x (ここで、c₂=±e^cと置いた)

したがって、①の解は任意関数をΦとして
　Φ(x+y, v/e^x)=0
fを任意関数として、陰関数にして
　v=(e^x)f(x+y)
→ u=(e^x)f(x+y)-(2x+y+1)

この回答へのお礼

ありがとうございます。参考になります。陰関数にして　というのはfを任意の陰関数としてと言うことでしょうか？

お礼日時：2022/12/28 19:47

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/28 20:40

直ぐです。

左辺はラグランジュの微分方程式なので。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/28 20:03

そうです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。ちなみにこの問いを見た時すぐに特解を使う求め方が思い浮かびましたか？初心者なのでよく分かりませんでした。

お礼日時：2022/12/28 20:07

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/12/28 17:56

u=ax+by+c

∂u/∂x=a
∂u/∂y =b
a-b-(ax+by+c)= 2x + y
→
u=-2x-y-1
検算
∂u/∂x=-2
∂u/∂y =-1
∂u/∂x - ∂u/∂y - u =-2+1-(-2x-y-1)=2x+y

みたいなことかなぁ？何十年ぶりかなんでよく覚えていないけど、、、
なんかc₁e^ｃ₂x、c₃e^c₄ｙとかも入りそうだな。
教科書読んで調べてみたら？？

この回答へのお礼

有難うございます。特解の見付け方のコツなどありますか？

お礼日時：2022/12/28 19:46