2次関数y=f(x)=−x^2＋2ax＋1(−1≦x≦1)の最大値を求めよ。 参考書は a<-1 -

2次関数y=f(x)=−x^2＋2ax＋1(−1≦x≦1)の最大値を求めよ。

参考書は

a<-1
-1≦a≦1
1<a

の3通りでしたが

a<-1
-1≦a≦1

の2通りはだめなんですかね？

頂点がx＝1よりも大きい場合も調べないといけないんですかね？

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/07 03:50

y=f(x)=-x^2+2ax+1(-1≦x≦1)

f(x)=1+a^2-(x-a)^2

定義域
-1≦x≦1
はxの定義域であってaの定義域ではありません
だからaの値は定義域には関係ありません

a<-1 のとき
f(x)の最大値は
x=-1　のとき
f(-1)=-2a
が
f(x)の(-1≦x≦1)での
最大値になります

x=-1 は定義域(-1≦x≦1)の中に入っています

a>1 のとき
f(x)の最大値は
x=1　のとき
f(1)=2a
が
f(x)の(-1≦x≦1)での
最大値になります

x=1 は定義域(-1≦x≦1)の中に入っています

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/02/07 00:45

y = -(x - a)^2 + a^2 + 1

なので、このグラフは
・上に凸の放物線
・頂点は (a, a^2 + 1)
・軸は x = a
です。

x の範囲が -1 ≦ x ≦ 1 なので

(i) -1 ≦ a ≦ 1 であれば、x の定義域の中に「頂点」があるので、そこ（x=a）で最大になる。

(ii) 1 < a であれば、「頂点」は x の定義域の右側にあるので、 x の定義域では放物線は「単調減少」になる。
従って、 x の定義域の下端 x=-1 で最大になる。

(iii) a < -1 であれば、「頂点」は x の定義域の左側にあるので、 x の定義域では放物線は「単調増加」になる。
従って、 x の定義域の上端 x=1 で最大になる。

(i) で a=1 のときには (ii) と、 a=-1 のときには (iii) と一致するが、(ii)(iii)を「x = a のとき」と一般化することはできません。
なので、(ii)(iii) を (i) と共通化することはできません。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/06 23:11

f(x)はx=aで極大となる。

x=aが開区間にあれば、これが最大と
なる。したがって、|a|<1 ならば、x=a が最大(-1<a<1と言っ
ても同じ)。

残りは |a|≧1の場合であるが、(-1,1)には極大は無い。だから
[-1,1]で最大があれは、それは境界、x=±1の地点となる。
すなわち、f(±1) を計算して、大きい方を取ればよい。

No.2 回答者： ponpon55555 回答日時： 2023/02/06 22:55

なぜ頂点が-1より小さい時だけ求めて頂点が1より大きい時は求めないんですか？もう片方も求めてあげましょうよ、

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/06 22:46

ダメです。

正確に議論すると
　|a|<1 と |a|≧1
の場合ですね。

この回答へのお礼

申し訳ありません。回答の内容があまり理解できません。詳しく教えていただけませんでしょうか？

お礼日時：2023/02/06 22:56