解の存在範囲がわかりません

二次方程式２ｘ＾２＋ａｘ＋２＝０の異なる二つの実数解のうち、一つは２より大きくほかの一つは２より小さくなるような定数ａの値の範囲を求めよ。という問題です。
「解の存在の範囲」の問題の解き方の手順として
（ⅰ）ｘ＾２の係数（上に凸か下に凸か）と頂点のｙ座標の符号
（ⅱ）軸の位置
（ⅲ）ｘ＝２のときのｆ（２）の値の符号
と書いてあるのですが、
この問題は（ⅰ）、（ⅱ）が省略されるらしいのです。
ですが省略される意味がわかりません。
わかりやすく教えてほしいです。お願いします。

No.6 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/15 20:57

こんにちは。

皆さんのご回答で合っていると思いますが、
易しめに説明してみますね。

この問題は、何も難しく考えなくて良いですよ。

y = f(x) = 2x^2 + ax + 2

という関数のグラフを考えてみてください。
このグラフとx軸との交点のx座標が解ということは知ってますよね。
x軸と交差するところでは、関数の正負が入れ替わりますよね。
だから符合のことを気にして考えてみます。

放物線で下に凸なので、f(∞)=f(-∞)>0 なことは確かですね。

ということは、f(2)<0 でありさえすれば、

-∞ < x < 2 の区間に一つ解があり、
2 < x < ∞ の区間に一つ解がある

ことがわかりますね。
（その区間のどこかで関数の正負が入れ替わるから。）

要するに、f(2) < 0 であれば、

> 異なる二つの実数解のうち、一つは２より大きくほかの一つは２より小さくなる

ことがわかるし、逆もいえます。

(i)は省略されるというか、今はx^2の係数は 2 > 0 なので明らかだから省略したのではないですか？

(ii)は考えなくても、f(2)<0 さえ満たしていればよいわけです。

具体的にやってみると、

f(2)=2・2^2 + a 2 + 2 = 2a+10 < 0
なので、a < -5 が求めるべき定数 a の範囲ですね。

(i)～(iii) は、数学の法則みたいなものを列挙しているわけではなくて、「こんなふうなこと考えて解いたらいいですよ」というヒントだと思います。解き方の筋が通っていることさえ抑えておけば、(i)～(iii)のうち使っているものがあるとかないとか、関係ないことを使っているかとか、全く気にしなくてよいです。

No.5 回答者： chomsky123 回答日時： 2007/08/14 09:07

　ANo.1。

>>そして、ｙ切片が２です。無関係。と言うより誤答。
　ANo.2。意味不明。と言うよりデタラメ。
　ANo.3。>>(i)の2次の係数の条件については省略されないと思います。下に凸か上に凸かで変わるからです。この問題では下に凸です。
　思い違いではあるが、誤答。
　正しくは、下に凸として一般性は失われない。

　誤植は指摘しないが、誤答は指摘しないと下の回答に矛盾する。

（ⅰ）の記述が奇妙。
（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）の前に、f(x)=2(x^2)+ax+2と置く。f(x)=((2x)^2)+ax+2 ???
（ⅰ）頂点のｙ座標符号。または判別式。

>>わかりやすく教えてほしいです。

　何がわかりやすいのか、貴殿の知識が不明なので厳密には回答不可能。推測でしか書けない。と言うより、論理的な説明は困難/無意味。

＃１
図を描いて、
（ⅲ）　ｆ（２）の値の符号＜０　ならば、

（ⅰ）　（頂点の、ｙ座標の符号）＜０、または、（判別式）＞０
　　　　と、（感知）するしかない。
（ⅱ）　（軸の位置）も、この問題では、どこにあっても良い。
　　　　と、（感知）するしかない。

＃２
（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）は、一般的な問題の記述であり、
（ⅲ）だけで良い場合もある。

＃３
＊どれを使うかは、（慣れる/経験）からしか判らない。
＊少し慣れた頃が危険である。条件を省いて間違えそう。
＊相当の兵が、陥穽に落ちる。

＃４
試験では、自信があれば条件を省いても良いが、
自信がなければ、３条件使用したほうが良い。
たとえ、不必要な条件が書かれていても、（採点者は）減点できない。

この問題で（ⅰ）を計算すると、一応範囲はでる。
（ⅱ）は-a/(2*2) と書いて、正なのか・０なのか・負なのか判断できない。
つまり、この問題ではどれでも良い。換言すると、（ⅱ）は使わなくて良いと試験でも判断可能。

No.4 回答者： Quattro99 回答日時： 2007/08/13 20:48

すみません。

変な文章になってました。

> 下に凸ということはf(-∞)もf(∞)は正です。従って、f(ｘ)=2x^2+ax+2として、f(t)<0となるようなtがあれば、

は、

> 下に凸ということはf(ｘ)=2x^2+ax+2としてf(-∞)もf(∞)も正ですから、f(t)<0となるようなtがあれば、

です。

No.3 回答者： Quattro99 回答日時： 2007/08/13 20:26

(i)の2次の係数の条件については省略されないと思います。

下に凸か上に凸かで変わるからです。この問題では下に凸です。
下に凸ということはf(-∞)もf(∞)は正です。従って、f(ｘ)=2x^2+ax+2として、f(t)<0となるようなtがあれば、-∞とtとの間と、tと∞との間にf(ｘ)=0となるxがあることになります。
この問題ではf(2)が負であれば必ず、2より小さいところと2より大きいところにf(ｘ)=0となるx、すなわちf(ｘ)=0の実数解が存在するので、他の条件を考える必要はありません。

「実数解を持ち、それらが全て2より大きくなる場合」というような条件の場合と比べてみてください（グラフを思い描いて）。下に凸なら、ｆ(2)は正ですが、それだけの条件では実数解を持つかどうかわかりませんし、実数解を持つ場合（凸の部分がx軸に接するか下に出る）でもf(2)が正というだけでは、どこで接したり下に出たりするかは決まらないことがわかると思います。

No.2 回答者： mituru_01 回答日時： 2007/08/13 19:36

b{(x+p)^2+q}の形

この式だと
2{(x+a/4)^2-a^2/16+2}
（ⅰ）の答えは　(x+a/4)^2　ここから判断して上に凸か下に凸がが出る
（ⅱ）の答えは　pの位置になるから　X=a/4

これであってると思うんだけど

間違ってたらごめんね

No.1 回答者： noname#40706 回答日時： 2007/08/13 19:08

ｙ＝２ｘ＾２＋ａｘ＋２

というグラフを使って考えているのですね。

このグラフは、下に凸のグラフであることは明らかです。

そして、ｙ切片が２です。つまり、点（０，２）を通る。

ですから、まず、このグラフがどのようなものになるか、試しに概形を適当に書いてみてください。このとき、軸がｘ＝２付近で、頂点がｘ軸より下になるようなグラフを書いたらわかりやすいです。
２つの実数解を持つのですから、当然頂点はｘ軸より下にないといけません。

そうすると、

＞＞異なる二つの実数解のうち、一つは２より大きくほかの一つは２より小さくなるような・・・・・・・

という条件を満たすようなグラフは、結局、ｘ軸との交点が１つはｘ＜２のところに、もう一つはｘ＞２のところにできればいいわけです。

これは、ｘ＝２のときの値がマイナスになればいい、　この一つの条件を満たすだけでいいのではないでしょうか。

ことばではなかなか説明しにくいですが、ｘ＝２という直線（ｙ軸に平行な直線です）を書いてみると、この放物線が直線ｘ＝２と、ｘ軸より下の方で交われば、放物線とｘ軸との２つの交点は直線ｘ＝２をはさんで左右に、つまり、ｘ＜２と　ｘ＞２を満たす位置にできることが分かるでしょう。

ですから、

（１）ｘ＾２の係数（上に凸か下に凸か）と頂点のｙ座標の符号
（２）軸の位置
（３）ｘ＝２のときのｆ（２）の値の符号

のうち、最後の　３　の条件だけでいいということです。

でも、実際の答案にうまく文章で説明するのはむずかしいですね。なんとかうまい説明文を考えてみてください。数学は式だけでなくきちんとした文で説明できることも大切ですね。