なぜ、媒介変数で表された関数とx軸で囲まれた面積は 普通の？yじゃなくて|y|の積分なのですか？

なぜ、媒介変数で表された関数とx軸で囲まれた面積は
普通の？yじゃなくて|y|の積分なのですか？

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/10 08:55

媒介変数表示なら、x に対してyが多値とかありえると思うのだが

どう積分するつもりなんだろ？
面積にならないパターンもあると思うぞ。

それにループとかしてたらどこが面積なんだろ？

もっといろいろ条件があるのでは？

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/09 22:16

媒介変数があるかどうかはマッタク関係ないですよ。

「ポイント」とか称して変なことが書いてある本ですねー。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/09 20:33

区間0～2πで

関数
y=sinx
と
x軸で囲まれた部分の面積は
∫_{0～2π}|y|dx
なのだけれどももし絶対値を外して

∫_{0～2π}(y)dx
とすると
∫_{0～2π}(y)dx
=∫_{0～2π}(sinx)dx
=[-cosx]_{0～2π}
=0

となって
図の通り
面積は0ではない事に矛盾するから
絶対値を外してはいけません

区間0～2πで
関数
y=sinx
と
x軸で囲まれた部分の面積は
∫_{0～2π}|y|dx
=∫_{0～2π}|sinx|dx
=∫_{0～π}(sinx)dx+∫_{π～2π}(-sinx)dx
=[-cosx]_{0～π}+[cosx]_{π～2π}
=2+2
=4

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/09 13:54

「(とある) 関数 (のグラフ) と x軸で囲まれた部分の面積」というのは, その関数のグラフが x軸の上にあるか下にあるかに関係なく通常「正の値」とするから, 絶対値を付けている. 例えば

関数 y=x^2-1 と x軸とで囲まれた部分の面積
はどう計算する?

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/09 12:53

図形を、長方形の集まりで近似しているからです。

ある軸に垂直な直線群による断面の幅に
軸方向の微小な長さを掛けて、軸に沿って集めると
図形の面積になります。
y = f(ｘ) と x軸(y = 0) とで囲まれた図形を
x軸に垂直な直線群で切ると、断面の幅は
f(x) じゃなく ｜ f(x) - 0 ｜ ですね？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/09 11:48

図のように

関数y=f(x)
と
x軸で囲まれた部分の面積は

∫_{a～b}|y|dx=∫_{a～c}(y)dx+∫_{c～b}(-y)dx

となる

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2023/02/09 11:15

媒介変数とかは関係なく、ただ単に「面積」だからでは？

例：Sinｘを０→２πで積分すると０。囲まれた面積は０ではない。