連続型の確率変数について

確率変数が連続型の場合の確率は積分で表されるかと思いますが、なぜ積分になるのかという点でご教授頂きたくご質問させて頂きました。

例えば、今回マッチングアプリで知り合った人の身長が168cmである確率と考えた時、
ちょうど身長が168.00000…cmの人が来るとは考えにくいから168cm近辺[例えば167.5~168.5]の人が来るというように表現を変える必要がある、つまり連続型確率変数を考える時は範囲の中で考えることになるというのは理解できます。

なので、改めてマッチングアプリで知り合った人の身長が
a cm≦x≦b cmである確率Pで考えた時、
a cm=t0≦t1≦…≦tn-1≦tn=b cmと分割して、
より小さい範囲[ti-1, ti]cmの人が来る確率をpiとおけば求める確率PはΣ[i=0→n]piと書けますが、この後どう考えればよいのか、
積分なのでtλ∈[ti-1, ti]に対してpi=f(tλ)(ti－ti-1)とおけばlimΣ[i=0→n]f(tλ)(ti－ti-1)=∫f(t)dtとなるかと思いますが、
なぜf(tλ)と身長の範囲(ti－ti-1)を掛けてpi=f(tλ)(ti－ti-1)と書けるかがうまく説明できません。
(f(tλ)がなんなのか？)
積分的に見ればf(tλ)(ti－ti-1)はf(tλ)を高さ、(ti－ti-1)を横幅と見た矩形面積ですが、今回の確率で考えた時の意味が分からずご教授頂けたらと思っています。

No.3 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/08/25 10:35

疑問、大いに賛同します。

まず前提ですが、その前に#1のBingの回答、まだ日本語に弱いようです。

まず、確率密度関数というものを導入します。
↓
まず、確率質量関数というものを導入します。


確率質量って、物理学でいう質量のように、横幅は無いが高さは存在するような概念です。高さとは確率です。
離散的な、サイコロの出目のような事象の確率です。

身長もｃｍ単位で表されていれば、離散値ですよね。それを今度はｍｍ単位で表して・・・

その結果、高さはそれぞれ1/10になりますが、横は10倍になりますね。

で、それを続けて、それらを加えれば積分になるというのが#1の第２段落で説明しているようです。


＞ なぜf(tλ)と身長の範囲(ti－ti-1)を掛けてpi=f(tλ)(ti－ti-1)と書けるかがうまく説明できません。f(tλ)がなんなのか？

f(tλ)は「高さ」に相当します。ところが・・・

実は、この説明に対し、私はご質問者と同じような疑問を私は持っています。

なぜなら、上記のように積分に持ち込もうということで、分割を進めれば進めるほど、高さは０になってしまうからです。

矩形の面積だというのが落としどころだと思うのですが、その高さが０ではないですか？

学校の先生は、どう答えるでしょう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
>分割を進めれば進めるほど、高さは０になってしまうからです。
今回の質問のきっかけも仰る部分にあり、各小区間の確率が0(に近づく)ってどういう事と私も感じています。
教える側としてもどう教えて良いのか、難しいところですよね、積分ありきで教えるのはどうなのかなと(致し方ないと言えばそれまでですが…)

お礼日時：2023/08/25 11:50

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/25 14:14

No.1 です。

既に、皆さんが的確な回答をされていますので、とりあえず「お礼」に書かれたことについて。

＞この場合、区間「t(λ)－t(λ-1)」では同じ確率f(tλ)とみるので累積分布的にf(tλ)をt(λ)－t(λ-1)回足していく(f(tλ){t(λ)－t(λ-1)}のこと)イメージになるかと思うのですが、この辺りってどう考えればよいのでしょうか。

どう考えればって、それが「部分求積法 → 区間を無限小にした極限で積分」ということなのですが・・・。

＞単純にt(λ)－t(λ-1)が整数になるとは限らないので「t(λ)－t(λ-1)回足していく」というのも表現としてはおかしいですし、、

区分求積法で「短冊」に区切る区間は、一つ一つが別な幅でもよいのですが、通常は「同じ幅」にして
　1区間 = t(λ)－t(λ-1) = (b - a)/n = Δt
にします。
この「n」（与えられた a～b の区間幅を n 等分する）が「整数」であって、区間幅そのもの（t(λ)－t(λ-1)）は整数ではありません。
「足す」とすれば「ｎ回足す」です。
「区間幅」と「分割数」を混乱していませんか？

この回答へのお礼

>「区間幅」と「分割数」を混乱していませんか？
すみません、混同していました、ありがとうございます！
理解しました。

お礼日時：2023/08/25 14:53

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/25 13:12

ご質問はもしかすると、

　https://oshiete.goo.ne.jp/qa/7421448.html

という話じゃないだろうか。（いや、それ以前のレベルの話なのか？）

この回答へのお礼

ありがとうございます。
過去に同様のものがあったのですね、参考にします。
確かに、x=~の時の確率が全くないわけではないというところの疑念もあるのですが、今回は違う方向になります。
日本語分かりずらく申し訳ありません。

お礼日時：2023/08/25 14:51

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/08/25 11:36

#3です。

ここは、確率母関数とか、積率母関数をしっかり教えるべきだと思うんですよね。

具体的に言えば、確率と確率密度の違いとか・・・

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/25 10:10

「離散型」（サイコロの各「目」の出る確率など）が理解できているなら、「積分」を「区分求積法」で考えれば「連続型」も理解できるのではありませんか？

区分求積法
https://manabitimes.jp/math/1545

ここでは、f(x) は「確率密度関数」です。
確率なので
　∫[-∞→∞]f(x)dx = 1
になります。


＞なぜf(tλ)と身長の範囲(ti－ti-1)を掛けてpi=f(tλ)(ti－ti-1)と書けるかがうまく説明できません。
＞(f(tλ)がなんなのか？)

それははっきり言って「積分を理解できていない」ということに尽きるかと思います。

f(tλ) は x=tλ のときに事象が起こる確率であり、f(x) は上に書いた「確率密度関数」です。
この確率が微小な区間「t(λ)－t(λ-1)」では「一定」とみなすということです。（本当は「曲線」なのだが、「微小」なので「一定」とみなす）
そして
　t(i)－t(i-1) = Δx = (b - a)/n
と書いて
　P(a≦x≦b) = Σ[i=1～n]f(ti)Δx
としたものが「区分求積法」であり、これを
　n → ∞
にすれば
　Δx → 0
となって、積分
　P(a≦x≦b) = lim(n→Σ[i=1～n]f(ti)Δx = ∫[a→b]f(x)dx
になります。


「サイコロ」を例にしてみれば
・「目」の１～６が出る確率は各々 1/6
とすれば、これを「連続型関数」とするには
・x=0.5～1.5 で目が「１」： f(x) = 1/6
・x=1.5～2.5 で目が「２」： f(x) = 1/6
・x=2.5～3.5 で目が「３」： f(x) = 1/6
・x=3.5～4.5 で目が「４」： f(x) = 1/6
・x=4.5～5.5 で目が「５」： f(x) = 1/6
・x=5.5～6.5 で目が「６」： f(x) = 1/6
と考えればよいのです。(この場合には Δx = 1 になっています）
「すべての確率」は
　P(X=1～6) = Σ[i=1～6](1/6) = 1
　　　　　　= ∫[0.5→6.5]f(x)dx
　　　　　　= ∫[0.5→6.5](1/6)dx
　　　　　　= (1/6)[x][0.5→6.5] = 1
ですし、
「目が「４」または「6」の確率」は
　P(X=4, 6) = Σ[i=4, 6](1/6) = 2/6 = 1/3
　　　　　　= ∫[3.5→4.5]f(x)dx + ∫[5.5→6.5]f(x)dx
　　　　　　= ∫[3.5→4.5](1/6)dx + ∫[5.5→6.5](1/6)dx
　　　　　　= (1/6)[x][3.5→4.5] + (1/6)[x][5.5→6.5]
　　　　　　= 1/6 + 1/6
　　　　　　= 1/3
です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！

この確率が微小な区間「t(λ)－t(λ-1)」では「一定」とみなすということです。（本当は「曲線」なのだが、「微小」なので「一定」とみなす）



やはりその小区間では「一定」(同じ確率)とみなす考えになるんですね。

小学生みたいな質問で恐縮ですが一つ教えてください。この場合、区間「t(λ)－t(λ-1)」では同じ確率f(tλ)とみるので累積分布的にf(tλ)をt(λ)－t(λ-1)回足していく(f(tλ){t(λ)－t(λ-1)}のこと)イメージになるかと思うのですが、この辺りってどう考えればよいのでしょうか。

単純にt(λ)－t(λ-1)が整数になるとは限らないので「t(λ)－t(λ-1)回足していく」というのも表現としてはおかしいですし、、

お礼日時：2023/08/25 12:07

No.1 回答者： Andro 回答日時： 2023/08/25 09:32

連続型確率変数の確率は積分で表される理由について、簡単に説明します。

まず、確率密度関数というものを導入します。これは、連続型確率変数がある値に近い確率を表す関数です。例えば、身長が168cmの人が来る確率は、f(168)と書けます。ただし、f(168)はちょうど168cmの人が来る確率ではなく、168cmに限りなく近い範囲の人が来る確率です。つまり、f(168)は168cm付近の人の密度を表しています。

では、身長がa cm以上b cm以下の人が来る確率はどうなるでしょうか？これは、a cmからb cmまでの範囲にある人の密度を足し合わせればよいです。つまり、f(a)からf(b)までの面積を求めればよいです。これが積分の考え方です。積分とは、ある関数の値を区間ごとに小さく分割して、それぞれの区間での関数の値と区間の幅を掛けたものを足し合わせることです。区間を無限に細かくすると、積分は連続的な面積になります。

したがって、身長がa cm以上b cm以下の人が来る確率は、

P(a≦X≦b)=∫abf(x)dx

となります。ここで、f(x)は確率密度関数であり、xは身長を表す連続型確率変数です。

ソース: Bing との会話 2023/8/25
(1) 連続型確率変数の分散と標準偏差 | 確率分布 | 確率 | 数学 | ワイズ. https://wiis.info/math/probability/continuous-pr …
(2) 確率密度関数の意味と具体例 | 高校数学の美しい物語. https://manabitimes.jp/math/917.
(3) 連続型確率変数の期待値 | 確率分布 | 確率 | 数学 | ワイズ - WIIS. https://wiis.info/math/probability/continuous-pr …
(4) 微分積分と連続型確率変数【中学の数学からはじめる統計検定2 .... https://toketarou.com/integral/.
(5) 確率統計 クラス 講義ノート - 東京都立大学 公式サイト. https://tmu-kurata.fpark.tmu.ac.jp/lectures/prob …