無作為にx[n]∈[0,1]を選びます(n=1,2,3,…)。 初めてx[n]<x[n+1]となると

無作為にx[n]∈[0,1]を選びます(n=1,2,3,…)。
初めてx[n]<x[n+1]となるときのx[n]の値はどのくらいなのでしょうか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/15 18:53

X[k] (k=1,2,...,n,n+1) がそれぞれ独立に

[0,1] の一様分布に従うとき、
条件 X[1]≧X[2]≧...≧X[n]<X[n+1] の下での
X[n] の条件つき期待値を求めよ
という問題ですね。

条件付き期待値の定義どおりに、
{ ∫[0,1] ∫[0,X[1]] ∫[0,X[2]] … ∫[0,X[n]] ∫[X[n],1] X[n] dX[n+1] dX[n] … dX[1] }
÷ { ∫[0,1] ∫[0,X[1]] ∫[0,X[2]] … ∫[0,X[n]] ∫[X[n],1] dX[n+1] dX[n] … dX[1] }
を計算すればよいです。
この式の分母分子をそれぞれ内側の ∫ から計算していって

分母：
1
→　1 - X[n]
→　X[n-1] - (1/2)X[n-1]^2
→　(1/2)X[n-2]^2 - (1/6)X[n-2]^3
→…
→　(1/(n-1)!)X[1]^(n-1) - (1/n!)X[1]^n
→　(1/n!)1^n - (1/(n+1)!)1^(n+1)

分子：
X[n]
→　X[n] - X[n]^2
→　(1/2)X[n-1]^2 - (1/3)X[n-1]^3
→　(1/6)X[n-2]^3 - (1/12)X[n-2]^4
→…
→　(1/n!)X[1]^n - (2/(n+1)!)X[1]^(n+1)
→　(1/(n+1)!)1^(n+1) - (2/(n+2)!)1^(n+2)

より、 期待値 = { 1/(n+1)! - 2/(n+2)! } ÷ { 1/n! - 1/(n+1)!}
　　　　　　= { (n+2) - 2 } / { (n+2)(n+1) - (n+2) }
　　　　　　= 1/(n+2).

No.1 回答者： ラズ91 回答日時： 2023/09/13 20:28

無作為に選ばれるx[n]が[0,1]の範囲内で一様分布している場合、x[n]がx[n+1]より小さい場合の確率は1/2です。

つまり、x[n] < x[n+1]となる確率は1/2です。したがって、初めてx[n] < x[n+1]となるときのx[n]の値は、平均的には0.5（1/2）です。ただし、具体的な試行回数や条件によっては、この値が変化することがあります。