この問題がわからないので、どなたか教えてください、、、 確率変数 Xが標準正規分布に従う時、（1）E

この問題がわからないので、どなたか教えてください、、、

確率変数 Xが標準正規分布に従う時、（1）E[X^3］E[X^4］，E[X^5］，E[X^6］をそれぞれ求めよ。
（2）n∈Nに対して、E［X^2n-1]、E［X ^ 2］をそれぞれ推測せよ

質問者からの補足コメント

• 具体的な答えが知りたいです、、、

    補足日時：2024/01/11 10:06

No.8 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/01/12 17:42

あと、No.3のリンク先にある階乗記号の２つ並んだものは、１個飛びの階乗です。

二重階乗と言います。

一般項がそうなるのも、No.6さんの漸化式の回答から分かりますよね。

これって、高校の授業ですか。
だったら、漸化式までかなぁ。

No.7 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/01/12 11:58

E(X^2n)を推測せよ、って一般項ではなく漸化式を求めることなのかな？

No.3のリンク先の答は一般項だけど、漸化式ならこちら↓を。

https://risalc.info/src/gaussian-integral.html

No.6さんが示されたとおり、n乗に対し(n＋2)乗に繋がる性質があります。


てか、そもそも 1／√2π・∫x^n・exp(-x^2/2)dx というガウス積分になるって分かっていますよね？

であれば「ガウス積分の性質」とかでググれば、解法は見つかるハズ。

具体的な答（結果のみ）が知りたければ私の示した２つのリンク先を見れば分かるけど、それだけを知りたいということではないでしょう？

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/11 13:35

(1)やるのは面倒。

(2)からやって遡ったほうが簡単。

部分積分をすると、
E[x^k] = ∫[-∞,+∞] (x^k) (1/√(2π))e^(-x^2/x) dx
= [ (1/(k+1))(x^(k+1)) (1/√(2π))e^(-x^2/2) ]_{-∞,+∞}
　- ∫(1/(k+1))(x^(k+1)) (1/√(2π))e^(x^2/2) (-1x) dx
= { 0 - 0 } + (1/(k+1))∫(x^(k+2)) (1/√(2π))e^(x^2/2) dx
= (1/(k+1))E[x^(k+2)].

E[1], E[x] は知ってるよね？

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/01/11 11:33

No.3です。

No.3～4では思わせぶりな回答をしてスミマセンでした。

老婆心ながら・・・、
あのサイトの出発点は、No.1の回答である「１次の積率」を今回の問題に適用した一般形になっています。
No.2さんのおっしゃるように、余分な係数を削ぎ落した格好ですね。

さて、Xの奇数乗の場合は、0の両側でスコア関数g(x)の符号が逆転し、回転対称になっていますよね。
だったら、ー∞～∞まで積分すると０になります。

積分範囲がー∞～∞ならば、
(2)の E(X^2n-1)＝0 は容易に類推できますね。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/01/11 11:13

No.3です。

(2)のE(X^2) って、E(X^2n)の間違いですよね。

あのサイトは最後まで読んで下さいね。
下の方に、あなたの欲しい答えがあります。

(2)の、2n-1 って奇数です。だったら偶数のケースがあるはずですよね。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/01/11 10:58

こちらをご参考に。

ただし、積分範囲が0～∞なので、ご注意を。
この問題の積分範囲はー∞～∞です。

https://akiyamath.com/2023/08/recurrence-relatio …

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/01/11 08:23

部分積分を使うと、E[x^k]を表す漸化式が得られます。

k=0, 1, 2のときの値は分かっているんで、漸化式に逐次代入すればk=3, 4, 5, 6が順に計算できる。
　この問題で求めているのは一般項E[x^k]を推測することだけで、キチンと導くところまでは求めてないですね。もし推測が難しければ、 k=7, 8, ... も計算して結果を見比べると吉。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/01/11 03:07

スコア関数g(x)の期待値は、密度関数をf(x)とすると、1次の積率、

E(g(x))＝∫g(x)f(x)dx だから、

例えば、g(x)＝x^3、f(x)＝標準正規分布関数を代入して真摯に計算すれば良いと思います。