静電遮蔽された導体球殻中心の電位

千葉大学の物理の過去問（2010年）、導体球殻と静電誘導に関する問題についてです。

図のように、厚みの無視できる導体球殻の外部に点電荷が置かれたとき、球殻中心Oの電位を求める問題が出題されていました。球殻内部は静電遮蔽により電場が０となり、球殻内部と球殻自体が等電位になるのは理解できます。
しかし、解答には「V=kQ/r」としか書かれていません。上記の理屈でいえば、球殻中心の電位は、球殻表面の電位と等しいことになるため、解として「V=kQ/(r+a)」や「V=kQ/(r-a)」も含まれてもよいと思うのですが、この考えの何が違うのか教えていただけるとありがたいです。

No.6 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/28 11:51

>点電荷Bが球殻表面の位置に作る電位を求め、それが球殻中心の電位と同じとする考え方のどこが間違っているのかがわからないだけです。

<
●どうしてそうなるか、理解不能。
あなたも言ってるように、球殻外側表面には電荷が表れます
からその電荷による電位を計算しなければいけない。Bの点
電荷だけで済まそうとする気が知れません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞あなたも言ってるように、球殻外側表面には電荷が表れます
からその電荷による電位を計算しなければいけない。

やはり、静電誘導により球殻表面に現れた電荷がつくる電位も計算する必要が今回のような問題はあるのですね。

＞Bの点電荷だけで済まそうとする気が知れません。
このように考えたのは、導体球殻内側の電場が０だからです。
コンデンサーに導体を挿入した際の電位のグラフを描く際、導体表面に現れた電荷と極板にある電荷が作る電位の重ね合わせで考えず、導体外側の電場のみで電位を求めてていたので今回も同様に考えることができると思いました。

しかし、これまで回答して頂いた内容を振り返ると、コンデンサーの問題は導体外部の電場が一様電場となっているので、上記のように考えることができるのであり、今回のように一様でない点電荷が作る電場の場合は、電位の合成をする必要があるためと納得しました。

丁寧に何度も回答して頂き本当にありがとうございました。

お礼日時：2023/05/28 13:03

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/28 09:39

>「極板から導体表面までの距離をコンデンサーに生じている電場に掛けた値を導体の電位」として求めていたので、

今回の問題も導体球殻内部は等電位だから、点電荷Ｂの電場を積分すれば同じように考えることができるとした<
●何言ってるかわかりません。

繰り返し何度も言いますが、3つの電荷の作る電界(それによって
計算される電位)は球殻内だとは何の関係もありません。

私の言うことが理解できませんか?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞繰り返し何度も言いますが、3つの電荷の作る電界(それによって
計算される電位)は球殻内だとは何の関係もありません。
私の言うことが理解できませんか?＜

鏡像法による球殻表面の電位を求める方法は理解できます。

私は鏡像法を用いない高校レベルで考えた際、球殻より内側の電場は静電誘導により０になっており、球殻は内側も含め等電位（半径aの導体球が置かれているのと同じ）であるならば、点電荷Bが球殻表面の位置に作る電位を求め、それが球殻中心の電位と同じとする考え方のどこが間違っているのかがわからないだけです。

お礼日時：2023/05/28 11:28

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/28 00:30

>上記の式が間違い出ないならば、球殻内部と球殻表面の電位は等しいので、

球殻中心の電位：「V=kQ/r」
が上記の電位と同じであるといえるのでしょうか？<
●Bによる右側の表面の電位は「V=kQ/(r-a)」です。説明した
ように、その他、Q', Q''の電荷を重ね合わせたものが、実際の
右側の表面の電位です。

という、#1の説明が理解できませんか?

ちなみに、3つの電荷による、球殻左表面の電位は
　V=(1/4πε₀){Q/(r+a)+Q'/(a+r')+Q''/a}・・・・・(a>r')
　　=(Q/4πε₀){1/(r+a)-(a/r)/(a+r')+(a/r)/a}
　　=(Q/4πε₀){1/(r+a)-(a/r)/(a+a²/r)+(a/r)/a}
　　=(Q/4πε₀){1/(r+a)-1/(r+a)+1/r}
　　=(Q/4πε₀)/r
となる(すべての表面で等電位になるように、Q'やr'を決めた
から当たり前)。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞●Bによる右側の表面の電位は「V=kQ/(r-a)」です。説明した
ように、その他、Q', Q''の電荷を重ね合わせたものが、実際の
右側の表面の電位です。
やはり点電荷Ｂが右側の表面に作る電位としては間違っていないのですね。

♯2の回答にある
>『導体球殻内の電場は静電誘導により打ち消されており、電位を考える際は点電荷Bが作る電場を無限遠から積分すれば電位が求められる』<
●前半と後半は何の関係もない。Bによる球殻外の電位は通常の
点電荷のものになる(電界を積分するが、自明としてよい)。

この『前半と後半は何の関係もない。』が私の間違いの原因のように感じました。
充電完了し、電源から外されたコンデンサーに導体を挿入し、導体の電位を計算する際に、
「極板から導体表面までの距離をコンデンサーに生じている電場に掛けた値を導体の電位」として求めていたので、
今回の問題も導体球殻内部は等電位だから、点電荷Ｂの電場を積分すれば同じように考えることができるとしたのが間違いなのでしょうか？

お礼日時：2023/05/28 01:18

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/27 23:55

>球殻右側（直線OP上）：「V=kQ/(r＋a)」

球殻左側（直線OP上）：「V=kQ/(r－a)」
と表すこと自体が、Bによる球殻上の電位を考えていることになり、間違いなのでしょうか？<
●この意味も不明だが、
球殻右側（直線OP上）：「V=kQ/(r-a)」・・・PAの距離=r-a
球殻左側（直線OP上）：「V=kQ/(r+a)」・・・PAの距離=r+a

ですが。

>点電荷Bが球殻の外表面に作る電位を上記のように表したのですが、この考え方はどこが違うのでしょうか？<
●上のように間違ってませんが(ミス以外)。

この回答へのお礼

何度も回答ありがとうございます。

ご指摘して頂いたように
球殻右側（直線OP上）：「V=kQ/(r-a)」・・・PAの距離=r-a
球殻左側（直線OP上）：「V=kQ/(r+a)」・・・PAの距離=r+a
の間違いでした。

上記の式が間違い出ないならば、球殻内部と球殻表面の電位は等しいので、
球殻中心の電位：「V=kQ/r」
が上記の電位と同じであるといえるのでしょうか？

お礼日時：2023/05/28 00:14

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/27 18:52

全般に意味不明です。

>『導体球殻内の電場は静電誘導により打ち消されており、電位を考える際は点電荷Bが作る電場を無限遠から積分すれば電位が求められる』<
●前半と後半は何の関係もない。Bによる球殻外の電位は通常の
点電荷のものになる(電界を積分するが、自明としてよい)。

>確かに、このやり方だと中心電位が表面の電位と同じになることはわかりますが、私の考え方のどこが間違っているのかがわかりません。<
●別にやり方に関係なく、球殻内の電界は無いから(述べたように)
球殻内部とAの外表面の電位は同じ(自明)。

>Ｂが作る電場は一様でなく、導体球殻の内部及び表面の電場が０となっているのは、 → 『球殻表面に現れた電荷が形成した電場と点電荷Bによる電場の重ね合わせで０になっている』<
●上のように話が繋がっていると仮定すると、とんでもない勘違
いです。述べたように、3つの点電荷の作る電界が示すのは、球
殻外部のみです。内部とは無関係です。

>球殻表面の電位を求める際には、球殻表面に現れた全ての電荷と点電荷Ｂの電位の重ね合わせを計算する必要がある。<
●そんな面倒なことはしません(計算可能か不明、原理的にはで
きるはず)。回答したように、3つの点電荷で計算できる。

勿論、球殻表面の電界を計算すれば、外表面電荷も計算できる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞●前半と後半は何の関係もない。Bによる球殻外の電位は通常の点電荷のものになる(電界を積分するが、自明としてよい)。＜

上記のことから、点電荷Bが球殻表面に作る電位は、
球殻右側（直線OP上）：「V=kQ/(r＋a)」
球殻左側（直線OP上）：「V=kQ/(r－a)」
と表すこと自体が、Bによる球殻上の電位を考えていることになり、間違いなのでしょうか？

＞●別にやり方に関係なく、球殻内の電界は無いから(述べたように)球殻内部とAの外表面の電位は同じ(自明)。＜
この考えのもとで、点電荷Bが球殻の外表面に作る電位を上記のように表したのですが、この考え方はどこが違うのでしょうか？

お礼日時：2023/05/27 23:46

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/27 01:26

鏡像電荷の電荷Q'とOからの距離r'は

　Q'=-(a/r)Q, r'=a²/r
球殻の合計電荷は0だから(という設定のはず)、もう一つ鏡像
電荷Q''=-Q'=(a/r)Qを原点Oに置く。

このようにすると、導体球表面の境界条件が成立する。
これら３つの電荷による、導体球殻表面の電位を重ね合わせで
求めると(これらの鏡像電荷の電界は球殻外部にしか適用でき
ないので)

　V=(1/4πε₀){Q/(r-a)+Q'/(a-r')+Q''/a}・・・・・(a>r')
　　=(Q/4πε₀){1/(r-a)-(a/r)/(a-r')+(a/r)/a}
　　=(Q/4πε₀){1/(r-a)-(a/r)/(a-a²/r)+(a/r)/a}
　　=(Q/4πε₀){1/(r-a)-1/(r-a)+1/r}
　　=(Q/4πε₀)/r

となる。球殻および、その内部に電界は無く同電位だから
(面倒なので略)中心の電位も
　V=(Q/4πε₀)/r
となる。

http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/G …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

回答して頂いた方法ですが、
『仮に導体球殻をなくして仮想の電荷を置いて同じような状況をつくる方法』
だと認識しました。
確かに、このやり方だと中心電位が表面の電位と同じになることはわかりますが、私の考え方のどこが間違っているのかがわかりません。


添付して頂いた資料を拝見して、私なりに自分の間違いを考えてみましたが、どうでしょうか？

【間違った考え】
『導体球殻内の電場は静電誘導により打ち消されており、電位を考える際は点電荷Bが作る電場を無限遠から積分すれば電位が求められる』

が間違っており、点Ｂが作る電場は一様でなく、導体球殻の内部及び表面の電場が０となっているのは、

【正しい解釈】
『球殻表面に現れた電荷が形成した電場と点電荷Bによる電場の重ね合わせで０になっている』

そのため、球殻表面の電位を求める際には、球殻表面に現れた全ての電荷と点電荷Ｂの電位の重ね合わせを計算する必要がある。

お礼日時：2023/05/27 13:48